自然坐标系下曲线运动的加速度

第三讲：自然坐标系下曲线运动的加速度

—— 以圆周运动为例

数学符号

$\vec{e}_n$ , $\vec{e}_{t}$ , $\frac{x}{y}$ , $\sqrt{x}$

对应的代码为
$\vec{e}_n$, $\vec{e}_{t}$, $\frac{x}{y}$, $\sqrt{x}$

知识点

曲线运动的加速度
- 自然坐标系， $\vec{e}_n$ ， $\vec{e}_{t}$
- 匀速圆周运动的加速度，向心加速度
  - 写成矢量式 $\vec{a}_n=\frac{v^2}{R}\vec{e}_n$
- 直线运动的加速度，切向加速度
  - 写成矢量式 $\vec{a}_t=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}$
- 变速圆周运动的加速度
  - $\vec{a}=\frac{v^2}{R}\vec{e}_n+\frac{dv}{dt}\vec{e_n}$
- 一般曲线运动的加速度
  - 曲率半径的直观感受
  - 计算曲率半径

例题

例1.

曲线运动中，加速度经常按切向 $\vec{e}_{t}$ 和法向 $\vec{e}_{n}$ 进行分解：

$\vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\vec{e}_{n}$

借助熟悉的例子来构建其直观物理图像，有助于理解并记忆这些复杂的公式。
- 在弯曲的轨道上匀速率行驶的火车，
  (1) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
  (2) $\vec{a}_{t}=0$ ，
- 在直线上加速跑向食堂的小伙伴，
  (3) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
  (4) $\vec{a}_{t}=0$ ，
- 变速圆周运动的质点，
  (5) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $\vec{a}_{n}=0$ 。
  (6) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}$ (不就是高中学过的向心加速度嘛)
  
  上述判断正确的为

解答: (2) (3) (6)

例2.

一个质点在做圆周运动时,则
- A:切向加速度一定改变, 法向加速度也改变
- B:切向加速度可能不变, 法向加速度一定改变
- C:切向加速度可能不变, 法向加速度不变
- D:切向加速度一定改变, 法向加速度不变

解答：B

例3.

物体作斜抛运动，初速度大小为 $v_{0}$ ，且速度方向与水平前方夹角为 $\theta$ ，则物体轨道最高点处的曲率半径为( )。

解答： $v_x={v_0}cos\theta$ ${a}=\frac{v_x^2}{R}$ $a=g$

得： $R=\frac{v_0^2cos^2\theta}{g}$

例4.

质点在 $Oxy$ 平面内运动，其运动方程为 $\vec{r}=t\ \vec{i}+\frac{1}{2}t^{2}\vec{j}$ ．则在 $t=1$ 时切向和法向加速度分别为( )

解答： $\vec{v}=\vec{i}+{t}\ \vec{j}$ $v=\sqrt{1+t^2}$ $\vec{a}=\vec{j}$ $a=1$

由 $\vec{a_t}=\frac{dv}{dt}\vec{e_t}$ 得：

$\vec{a_t} =\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\vec{e_t}$

当 $t=1$ 时， $\vec{a_t}=\frac{1}{2}\vec{e_t}$ $a_t=\frac{1}{2}$

又由 $a=\sqrt{{a^2_t}+{a^2_n}}$ 得： $a_n=\sqrt{a^2-a^2_t}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\vec{a_n}=\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{e_n}$

作业

质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为 $\vec{r}=3t\ \vec{i}+(1-t^{2})\ \vec{j}$ ．则在 $t_{1}=1$ 到 $t_{2}=5$ 时间内的平均速度为

解答： $\vec{v}=3\vec{i}-2t\ \vec{j}$

当 $t_1=1$ 时， $\vec{v_1}=3\vec{i}-2\vec{j}$

当 $t_2=1$ 时， $\vec{v_2}=3\vec{i}-4\vec{j}$ $\Delta\vec{v}=-2\vec{j}$ $v_平=\frac{\Delta\vec{v}}{t_2-t_1}=-\frac{1}{2}\vec{j}$

设质点的运动学方程为 $\vec{r}=R\cos\omega t\ \vec{i}+R\sin\omega t\ \vec{j}$ (式中 $R$ 、 $\omega$ 皆为常量) 则质点的速度和速率分别为

解答： $\vec{v}=\omega R cos\omega t\ \vec{j}-\omega R sin\omega t\ \vec{i}$ $v=\omega R$

运动学的一个核心问题是已知运动方程，求速度和加速度。质点的运动方程为
$\begin{cases} x=-10t+30t^{2} & ,\\ y=15t-20t^{2} & , \end{cases}$
则 $t$ 时刻的速度与速率

解答：
$\vec{v}=(-10+60t)\ \vec{i}+(15-40t)\ \vec{j}$
$\vec{a}=60\vec{i}-40\vec{j}$
$v=\sqrt{(-10+60t)^2+(15-40t)^2}$

最后编辑于：2019.02.27 22:30:02

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