第二章导数与微分

一、基本概念

1.基本导数：函数f(x)在 $x=x_{0}$ 处可导，记作 $f^,(x_{0} )$ 或 $\frac{dy}{dx}$ ， $\frac{dy }{dx} =f^,(x_{0} )=\lim_{x_{0}\to0} \frac{f(x-x_{0} )-f(x)}{x_{0} }$

2.高阶导数：函数f(x)在 $x=x_{0}$ 处二阶可导，记作 $f^"(x_{0} )$ 或 $\frac{d^2y }{dx^2}$

3.可微： $dy=f^,(x)dx$

二、导数理论

1.导数基本公式

2.三角函数和反三角函数求导公式

3.高阶导数求导公式：（1） $(sinx)^n=sin(x+\frac{n\pi }{2 } )$

（2） $(cosx)^n=cos(x+\frac{n\pi}{2} )$

（3） $(\frac{1}{ax+b} )^n=\frac{(-1)^nn！a^n}{(ax+b)^n}$

(4) $(uv)^n=C_{n}^0u^nv+C_{n}^1u^{n-1}v^\prime+……+C_{n}^nuv^n$

4.反函数与原函数的导数关系： $x=\varphi (y)$ 为 $y=f(x)$ 的反函数

（1） $\varphi^,(y)=\frac{1}{f^,(x)}$

（2） $\varphi "(y)=-\frac{f"(x)}{f^3(x)}$

5.导数及其绝对值导数的关系

（1）f(x)在x=a处连续 $\Rightarrow$ $\vert f(x) \vert$ 在x=a处连续

（2）f(x)在x=a处可导 : $f(x)\neq0$ 0 $\Rightarrow$ $\vert f(x) \vert$ 在x=a处可导

$f(x)=0$ $\Rightarrow$ $f^\prime(a)=0\Rightarrow \vert f(x) \vert$ 在x=a处可导

$\Rightarrow f^\prime(a)\neq 0\Rightarrow \vert f(x) \vert$ 不可导

6.参数方程的导数

y=f(x)由 $x=\varphi(t)$ 和 $y=\phi(t)$ 确定，其中 $\varphi(t)$ 和 $\phi(t)$ 二阶可导，且 $\phi^\prime(t)\neq 0$ ,则

$\frac{dy}{dx} =\frac{dy/dt}{dx/dt } =\frac{\varphi^\prime(t)}{\phi^\prime(t)}$ ,

$\frac{d^2y}{dx^2} =\frac{d(\frac{dy}{dx} )/dt}{dx/dt } =\frac{\varphi^"(t)}{\phi^"(t)}$

最后编辑于：2021.10.11 16:29:06

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第二章 导数与微分

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