相交与平行
相交和平行都是线与线之间的位置关系。那么两条线到底怎样才算相交？怎样才算平行呢？如果两条直线有一个公共点那么这两条直线就是相交。那什么是平行？共面的两条直线不相交就平行。
那么在相交中又有什么特殊的位置关系呢？我们最常见的是垂直。也就是这两条线形成的四个角都是90度。那么除了一个小时90度，还有什么特殊的角度呢？平角是180度。那两个角相加恰巧等于180度。也算是一种特殊的关系。这样的两个角，互为补角。那么两个角相加等于180度特殊，那两个角相加等于90度也很特殊，所以两个角相加等于90度，它们就互为余角。那同样我们也就可以证明同角(等角)的余角(补角)相等。这些都是香蕉，那么平行呢。
我们要怎么判定平行呢？刚才我们定义平行为同一平面内两条直线不相交就一定平行。可是如果有两条直线，我们是要将它无限延伸。才能知道他是否平行。这样太麻烦了。那我们还有什么简便的方法来判定呢？如果有两条直线ab被c所截
那我们怎么知道ab是否平行呢？从直观上来想象，如果ab那么∠1和∠4的角度应该是一样的，∠1和∠4他们分别在ab的下方和c的右边，所以他们叫做同位角。也就是说同位角相等，两直线平行。这就是一个公理，我们没有办法证明他，所以叫做不证自明。我们把它叫做平行线判定定理一。
那如果内错角相等，两直线平行吗？也就是说已知∠1=∠8，能证明a平行于b吗？可以
这个定理我们把它叫做平行线判定定理二。内容就是：内错角相等，两直线平行。那么用同旁内角互补可以证明吗？也可以，也就是说用∠5＋∠8=180°，来证明a平行于b。
我们把用同旁内角证明两线是否平行的方法叫做平行线判定定理三内容是：同旁内角互补，两直线平行。
这个时候我们是借助角度来判定平行。那如果我先知道两直线平行，我又能得到什么呢？
现在已知a平行于b，我还能得到什么信息呢？同位角，内错角还会相等吗？同旁内角还会互补吗？我们可以证明一下。首先两直线平行，同位角相等吗？从直观感受上来看，是相等的。也就是说两直线平行，同位角相等。这个公理也是不证自明。所以我们就把它命名为平行线性质定理一：两直线平行，同位角相等。那么我们是不是也能证明两直线平行，内错角相等。可以
那么我们刚才可以用同旁内角证明平行，现在如果两线平行那同旁内角是不是也互补呢。
是的，我们把这个性质叫做平行线性质定理3：两直线平行同旁内角互补，那么用平行线的性质，我们能解决什么问题呢？其实我们可以解决很多问题，想三角形的内角和，外角和。平行四边形等…
这就是平行线的性质与判定。
