数学分析理论基础8：函数极限概念

函数极限概念

x趋于 $\infty$ 时函数的极限

定义：设f为定义在 $[a,+\infty)$ 上的函数,A为定数,若 $\forall \varepsilon\gt 0$ , $\exists 正数M(\ge a)$ ,使得当 $x\gt M$ 时有 $|f(x)-A|\lt \varepsilon$ ,则称函数f当x趋于 $+\infty$ 时以A为极限,记作 $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(x\to +\infty)$

注：A的任意小邻域内含有f在 $+\infty$ 的某邻域上的全部函数值

几何意义： $\forall \varepsilon\gt 0$ ,在坐标平面上平行于x轴的两条直线 $y=A+\varepsilon$ 与 $y=A-\varepsilon$ 围成以 $y=A$ 为中心线,宽为 $2\varepsilon$ 的带形区域,在直线x=M,的右方,曲线y=f(x)全部落在这个带形区域之内

设f为定义在 $U(-\infty)$ 或 $U(\infty)$ 上的函数,当 $x\to -\infty$ 或 $x\to \infty$ 时,若函数值f(x)能无限地接近某定数A,则称f当 $x\to -\infty$ 或 $x\to \infty$ 时以A为极限,分别记作

$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=A或f(x)\to A(x\to -\infty)$

$\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=A或f(x)\to A(x\to \infty)$

若f为定义在 $U(\infty)$ 上的函数,则 $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=A\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=A$

例：证明 $\lim\limits_{x\to -\infty}arctanx=-{\pi\over 2}$

证：

$\forall \varepsilon,要证|arctanx-(-{\pi\over 2})|\lt \varepsilon$

$只需证-\varepsilon-{\pi\over 2}\lt arctanx\lt \varepsilon-{\pi\over 2}$

$不等式左端显然成立$

$限制\varepsilon\lt {\pi\over 2},则有$

$x\lt tan(\varepsilon-{\pi\over 2})=-tan({\pi\over 2}-\varepsilon)$

$\forall \varepsilon\gt 0,取M=tan({\pi\over 2}-\varepsilon)$

$则x\lt -M时有|arctanx-(-{\pi\over 2})|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{x\to -\infty}arctanx=-{\pi\over 2}$

x趋于 $x_0$ 时函数的极限

定义(函数极限的 $\varepsilon-\delta$ 定义)：设函数f在点 $x_0$ 的某个空心邻域 $U^\circ(x_0;\delta')$ 内有定义,A为定数, $\forall \varepsilon\gt 0$ , $\exists 正数\delta(\lt \delta')$ ,使得 $0\lt |x-x_0|\lt \delta$ 时有 $|f(x)-A|\lt \varepsilon$ ,则称函数f当x趋于 $x_0$ 时以A为极限,记作 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(x\to x_0)$

例：证明 $\lim\limits_{x\to x_0}sinx=sinx_0$

证：

$0\lt x\lt {\pi\over 2}时有$

$sinx\lt x\lt tanx$

$x\ge {\pi\over 2}时有$

$sinx\le 1\lt x$

$\therefore \forall x\gt 0,sinx\lt x$

$x\lt 0时sin(-x)\lt -x\Rightarrow -sinx\lt -x$

$\therefore |sinx|\le |x|,x\in R$

$当且仅当x=0时等号成立$

$|sinx-sinx_0|=2|cos{x+x_0\over 2}||sin{x-x_0\over 2}|$

$\le |x-x_0|$

$\forall \varepsilon\gt 0,取\delta=\varepsilon,则$

$当0\lt |x-x_0|\lt \delta时有$

$|sinx-sinx_0|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{x\to x_0}sinx=sinx_0$

例：证明 $\lim\limits_{x\to 1}{x^2-1\over 2x^2-x-1}={2\over 3}$

证：

$x\neq 1时有$

$|{x^2-1\over 2x^2-x-1}-{2\over 3}|$

$=|{x+1\over 2x+1}-{2\over 3}|$

$={|x-1|\over 3|2x+1|}$

$限制0\lt |x-1|\lt 1(此时x\gt 0)$

$则|2x+1|\gt 1$

$\therefore \forall \varepsilon\gt 0,取\delta=min\{3\varepsilon,1\}$

$则当0\lt |x-1|\lt \delta时有$

$|{x^2-1\over 2x^2-x-1}-{2\over 3}|\lt {|x-1|\over 3}\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{x\to 1}{x^2-1\over 2x^2-x-1}={2\over 3}$

例：证明 $\lim\limits_{x\to x_0}\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-x^2_0}(|x_0|\lt 1)$

证：

$\because |x|\le 1,|x_0|\lt 1$

$\therefore |\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-x_0^2}|$

$={|x_0^2-x^2|\over \sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x_0^2}}$

$\le {|x+x_0||x-x_0|\over \sqrt{1-x_0^2}}$

$\le {2|x-x_0|\over \sqrt{1-x_0^2}}$

$\therefore \forall \varepsilon\gt 0,不妨设0\lt \varepsilon\lt 1$

$取\delta={\sqrt{1-x_0^2}\over 2}\varepsilon$

$当0\lt |x-x_0|\lt \delta时有$

$|\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-x_0^2}|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{x\to x_0}\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-x^2_0}(|x_0|\lt 1)$

$\varepsilon-\delta$ 定义的另一种刻画

定义： $\forall \varepsilon\gt 0,\exists \delta\gt 0,\forall x\in U^\circ(x_0;\delta)$ ,有 $f(x)\in U(A;\varepsilon)$

另： $\forall \varepsilon\gt 0,\exists\delta\gt 0$ ,使得 $f(U^\circ(x_0;\delta))\subset U(A;\varepsilon)$

几何意义： $\forall \varepsilon\gt 0$ ,在坐标平面上画一条以直线y=A为中心线,宽为 $2\varepsilon$ 的横带,则必存在以直线 $x=x_0$ 为中心线,宽为 $2\delta$ 的竖带,使函数 $y=f(x)$ 的图像在该竖带中的部分全部落在横带内,但点 $(x_0,f(x_0))$ 可能例外

单侧极限

定义：设函数f在 $U_+^\circ(x_0;\delta')(或U_-^\circ(x_0;\delta'))$ 上有定义,A为定数, $\forall \varepsilon\gt 0$ , $\exists 正数\delta(\lt \delta')$ ,使得当 $x_0\lt x\lt x_0+\delta(或x_0-\delta\lt x\lt x_0)$ 时有 $|f(x)-A|\lt \varepsilon$ ,则称数A为函数f当x趋于 $x_0^+(或x_0^-)$ 时的右(左)极限,记作 $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=A(\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=A)$ ,或 $f(x)\to A(x\to x_0^+)(f(x)\to A(x\to x_0^-))$

右极限与左极限统称为单侧极限,f在点 $x_0$ 的右极限与左极限又分别记为：

$f(x_0+0)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x),f(x_0-0)=\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$

例：讨论函数 $\sqrt{1-x^2}$ 在定义区间端点 $\pm 1$ 处的单侧极限

解：

$\because |x|\le 1$

$\therefore 1-x^2=(1+x)(1-x)\le 2(1-x)$

$\forall \varepsilon\gt 0,当2(1-x)\lt \varepsilon^2时有$

$\sqrt{1-x^2}\lt \varepsilon$

$\therefore 取\delta={\varepsilon^2\over 2}则$

$当0\lt 1-x\lt \delta即1-\delta\lt x\lt 1时有$

$\sqrt{1-x^2}\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{x\to 1^-}\sqrt{1-x^2}=0$

$类似可得\lim\limits_{x\to (-1)^+}\sqrt{1-x^2}=0$

定理： $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=A$

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