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须臾了彻自然对数之底 e

须臾了彻自然对数之底 e

无极生太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦。

设 n 为整数，且看 f(n) = 2^n。其增长量等于当前值，可谓“自然”之象也。2 者，可谓整数中一奇(qi)数也。（~~且须知，2 为质数中唯一偶数，于多处，却是质数中最奇的。~~）

离散情况当如此，连续情况若何？设 x 为实数，且看 f(x) = 2^x。增长率为其导数，

$f'(x)=\lim_{dx\to0}\frac{2^{x+dx}-2^x}{dx}=\lim_{dx\to0}2^x(\frac{2^{dx}-1}{dx})$

可使 dx 为小数计算之，

$\frac{2^{dx}-1}{dx}\approx0.69314718055995$

欲使 f'(x) = f(x)，需令该式值为 1，则 2 实非吾辈所欲之数也。设 e 为所欲之数，

$e=(1+dx)^{\frac{1}{dx}}$

此即为课本中所说

$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$

故称 e 为自然对数之底，(e^x)' = e^x 者也。

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