一、线性表示
定义1（线性表示）：
设是线性空间V中的向量，若存在V中一组向量
，及一组数
，使得
则称向量
能被向量组
线性表出，或线性表示。
定义2（线性相关、无关）：
设是线性空间V中的一组向量，若存在一组不全为0的数：
使得则称
线性相关，否则为线性无关。
注：
1）线性无关的充要条件是：
这是证明向量线性无关的主要方法。
2)
3）单个零向量线性相关，单个非零向量线性无关；
4）若
5）若向量组线性相关，则原向量组
例1：
例1
$\beta$，改为b)证明：使用注1的方法，设存在
则
由于是线性无关向量组，得到所以向量线性无关 。
二、基与维数
定义4（基）：
设是线性空间V中的一组线性无关向量组，若对V中任意向量b，存在一组数：
使得
则称向量组
为V的基，称V为n维线性空间，记为
，线性空间V的维数记为
。
例2：
例子2
证明：
1）当数域F为实数域，则C是实线性空间，可知是C的一个基。
事实上，对于任意实数x1，x2，即线性无关
另外对C上任意向量，均能被向量1，i线性表示，所以是C的一个基，即C是2维的线性空间。
2）当数域F为复数域，则C是复线性空间，
易知，｛1｝是C的一个基，即C是1维的。
1是非零向量，线性无关，
且F为复数域，所以F中存在x1，可以得到，b为C中任一向量，即1是C的一个基，
所以C是1维的。
三、向量的坐标
定理1：
设是线性空间
中的一组基，则对
中任意向量b，有唯一线性表示：
记
称x为向量b在基
下的坐标。
证明：
因为是线性空间
的基，所以
中任意向量b能够被
线性表示。
然后证明唯一性：
若存在两组数：，使得
则有：
因为
是一组基，所以
，得证。
设
在基下的坐标为
，记
则有
例3：
例3
解：
设p(t)在基下的坐标为x1,x2,x3,
则有
所以
所以坐标为
例4
例4
解：与例3一样解法，易得坐标
例5：
1）证明V是线性空间
2）求V的维数与一个基B
3）求向量在基B下的坐标
解：
1）加法乘法封闭，8个性质
2）a1-a2+a3-a4=0
其系数矩阵的秩为1，求得其基础解系为
基础解系
所以V的维数为3，一个基为：
V的一个基
3）
image.png
得：
即：
image.png
四、过渡矩阵
1.线性同构
线性同构定义
2.设
,
是
的两个基
1）这两个基之间有什么关系？
2）若已知向量a在基下的坐标为x，那么a在基
下的坐标是多少？
答：对中的每个向量
，可以求出其在基
下的坐标，设为：
写成向量形式：记
image.png
称矩阵P为基Ba到基Bb的过度矩阵（变换矩阵）
过度矩阵的性质：
1）过度矩阵P是满秩矩阵
2）若P是基Ba到基Bb的过渡矩阵，则是基Bb到Ba的过渡矩阵
3）若向量a在基Ba下的坐标为x，即a=Bax，则向量a在基Bb下的坐标是：
性质1）的证明：
若过渡矩阵P不满秩，则齐次线性方程组存在非零解。
image.png
例6
问题
答案
答案
所以是B2到B1的过度矩阵。
