指数函数：2010年文数全国卷题21

2010年文数全国卷题21

设函数 f(x)=x\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)-a x^{2}.

（1）若 a=\dfrac{1}{2} ，求 f(x) 的单调区间;

（2）若当 x \geqslant 0 时 f(x) \geqslant 0，求 a 的取值范围.

【解答第1问】

若 a=\dfrac{1}{2} ，则 f(x)=x\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)- \dfrac{1}{2} x^{2} .

此函数的定义域为 (-\infty, +\infty).

f'(x)=xe^x+e^x-1-x=(x+1)(e^x-1)

f'(-1)=f'(0)=0

当 x \in (-\infty, -1), f'(x) \gt 0, f(x) 单调递增；

当 x \in (-1,0), f'(x) \lt 0

当 x \in (0,+\infty), f'(x) \gt 0

(-\infty, -1) 和 (0,+\infty) 是函数的单调递增区间；(-1,0) 是函数的单调递减区间。

【解答第2问】

f(x)=x\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)-a x^{2}

f'(x)=xe^x+e^x-1-2ax

f(0)=0

f'(0)=0

f''(x)=xe^x+2e^x-2a

①若 a=1, 则 f''(x) = xe^x + 2e^x -2 = xe^x + 2(e^x -1)

\forall x (0,+\infty), f''(x) \gt 0

\Rightarrow f'(x) \gt f'(0) \; \Rightarrow f'(x) \gt 0

\Rightarrow f(x) 为增函数

\Rightarrow f(x) \gt 0

所以，a=1 符合要求；

②若 a \lt 1, 则 -ax^2 \gt -x^2

x\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)-a x^{2} \gt x\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)-x^{2}

当 x \geqslant 0 时 f(x) \geqslant 0 成立，符合要求；

③若 a \gt 1, 令 h(x)=e^x-1-ax，则

h(0)=0

h'(x)=e^x-a

\forall x \in (0,\ln a), h'(x) \lt 0, \Rightarrow h(x) \lt h(0) \Rightarrow h(x) \lt 0.

∵ f'(x)=xe^x+e^x-1-2ax=x(e^x-a)+e^x-1-ax

∴ f'(x)=x(e^x-a)+h(x)

\forall x \in (0,\ln a), e^x-a \lt 0 \Rightarrow x(e^x-a) \lt 0

所以

\forall x \in (0,\ln a), f'(x) \lt 0

\forall x \in (0,\ln a), f(x) \lt f(0)

所以， a \gt 1 不合要求.

综上所述， a 的取值范围是 (-\infty,1].

【提炼与提高】

f(x)=xe^x 是高考中常用的函数，必须提前熟悉。

根据导函数的正负性讨论函数的单调性，是高考中的热点问题。必要时可根据需要构造函数，以方便讨论。

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