高考理科数学大题选：函数与导数

收录大题28个

2007年理数海南卷题21

设函数 $f(x)=\ln (x+a) + x^2$ ．

（Ⅰ）若当 $x=-1$ 时 $f(x)$ 取得极值，求 $a$ 的值，并讨论 $f(x)$ 的单调性;

（Ⅱ）若 $f(x)$ 存在极值，求 $a$ 的取值范围，并证明所有极值之和大于 $\ln \dfrac{e}{2}$ .

2008年理数海南卷题21

设函数 $f(x)=ax+ \dfrac {1} {x+b} \quad(a,b \in Z)$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2,f(2))$ 处的切线方程为 $y=3$ .

（Ⅰ）求 $f(x)$ 的解析式;

（Ⅱ）证明∶函数 $y=f(x)$ 的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心;

（Ⅲ）证明∶曲线 $y=f(x)$ 上任一点的切线与直线 $x=1$ 和直线 $y=x$ 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

2009年理数海南卷题21

已知函数 $f(x)=(x^3+3x^2+ax+b) e^{-x}$ .

（Ⅰ）若 $a=b=-3$ ，求 $f(x)$ 的单调区间;

（Ⅱ）若 $f(x)$ 在 $(- \infty, \alpha), (2, \beta)$ 上单调增加，在 $(\alpha,2),(\beta, + \infty)$ 上单调减少，证明∶ $\beta - \alpha \gt 6$ .

2010年理数全国卷题21

设函数 $f(x) = e^x -1-x-ax^2$ .

（1）若 $a=0$ ，求 $f(x)$ 的单调区间；

（2）若当 $x \geqslant 0$ 时 $f(x) \geqslant 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

2011年理数大纲卷题22

（Ⅰ）设函数 $f(x)=\ln(1+x)-\dfrac{2x}{x+2}$ ，证明：当 $x \gt 0$ 时， $f(x) \gt 0$ ；

（Ⅱ）从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20 次，设抽得的20 个号码互不相同的概率为 $p$ . 证明∶ $p \lt (\dfrac{9}{10})^{19} \lt \dfrac{1}{e^2}$ .

参考答案：2011年理数大纲卷题22

2011年理数全国卷题21

已知函数 $f(x) = \dfrac{a \ln x}{x+1} + \dfrac{b}{x}$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $x+2y-3=0$ .

（Ⅰ）求 $a，b$ 的值；

（Ⅱ）如果当 $x \gt 0$ ，且 $x \ne 1$ 时， $f(x) \gt \dfrac{\ln x}{x-1}+\dfrac{k}{x}$ ，求 $k$ 的取值范围.

参考答案：2011年理数全国卷题21

2012年理数大纲卷题20

设函数 $f(x) = ax + \cos x, \; x \in [0, \pi]$ .

（Ⅰ）讨论 $f(x)$ 的单调性；

（Ⅱ）设 $f(x) \leqslant 1 + \sin x$ ，求 $a$ 的取值范围.

2012年理数全国卷题21

已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=f'(1) e^{x-1} - f(0)x + \dfrac {1}{2} x^2$ .

（Ⅰ）求 $f(x)$ 的解析式及单调区间；

（Ⅱ）若 $f(x) \geqslant \dfrac{1}{2} x^2 +ax +b$ ，求 $(a+1)b$ 的最大值.

2013年理数大纲卷题22

已知函数 $f(x) = \ln(1+x) - \dfrac {x(1+ \lambda x)}{1+x}.$

（Ⅰ）若 $x \geqslant 0$ 时 $f(x) \leqslant 0$ ，求 $\lambda$ 的最小值;

（Ⅱ）设数列 $\lbrace a_n \rbrace$ 的通项 $a_n = 1 + \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{3} + \dots + \dfrac {1}{n}$ ，证明： $a_{2n} - a_n + \dfrac {1}{4n} \gt \ln 2$ .

2013年理数全国卷A题21

设函数 $f(x) = x^2 +ax+b, g(x)= e^x (cx+d)$ . 若曲线 $y=f(x)$ 和曲线 $y=g(x)$ 都过点 $P(0,2)$ ，且在点 $P$ 处有相同的切线 $y =4x+2$ .

（Ⅰ）求 $a，b，c，d$ 的值;

（Ⅱ）若 $x \geqslant -2$ 时， $f(x) \leqslant k g(x)$ ，求 $k$ 的取值范围.

2013年理数全国卷B题21

已知函数 $f(x)=e^x- \ln(x+m)$ .

（I）设 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，求 $m$ ，并讨论 $f(x)$ 的单调性;

（Ⅱ）当 $m \leqslant 2$ 时，证明 $f(x) \gt 0$ .

2014年理数大纲卷题22

函数 $f(x) = \ln (x+1) - \dfrac{ax}{x+a} (a \gt 1).$

（Ⅰ）讨论 $f(x)$ 的单调性;

（Ⅱ）设 $a_1=1, a_{n+1} = \ln(a_n+1),$ 证明∶ $\dfrac{2}{n+2} \lt a_n \leqslant \dfrac{3}{n+2}$

2014年理数全国卷A题21

设函数 $f(x)=a e^x \ln x + \dfrac{b e^{x-1}}{x}$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $y=e(x-1)+2.$

（I）求 $a,b$ ;

（Ⅱ）证明∶ $f(x) \gt 1$ .

参考答案：2014年理数全国卷A题21

2014年理数全国卷B题21

已知函数 $f(x)=e^x-e^{-x} -2x.$

（Ⅰ）讨论 $f(x)$ 的单调性;

（Ⅱ）设 $g(x) = f(2x) - 4b f(x)$ ，当 $x \gt 0$ 时， $g(x) \gt 0$ ，求 $b$ 的最大值;

（Ⅲ）已知 $1.414\,2 \lt 2 \lt 1.414\,3$ ，估计 $\ln 2$ 的近似值

（精确到 0.001）.

2015年理数全国卷A题21

已知函数 $f(x) = x^3 + ax + \dfrac {1}{4}, \; g(x) = - \ln x.$

（Ⅰ）当 $a$ 为何值时， $x$ 轴为曲线 $y=f(x)$ 的切线;

（Ⅱ）用 $min \lbrace m，n \rbrace$ 表示 $m，n$ 中的最小值，设函数 $h(x) = min \lbrace f(x),g(x) \rbrace (x \gt 0)$ ，讨论 $h(x)$ 零点的个数.

2015年理数全国卷B题21

设函数 $f(x)=e^{mx} + x^2 -mx.$

（I）证明∶ $f(x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 单调递减，在 $(0,+ \infty)$ 单调递增;

（Ⅱ）若对于任意 $x_1,x_2 \in [-1,1]$ ，都有 $|f(x_1)-f(x_2)| \leqslant e-1$ ，求 $m$ 的取值范围.

2016年理数全国卷A题21

已知函数 $f(x)=(x-2)e^x + a(x-1)^2$ 有两个零点.

（Ⅰ）求 $a$ 的取值范围;

（Ⅱ）设 $x_1,x_2$ 是 $f(x)$ 的两个零点，证明∶ $x_1+x_2 \lt 2$ .

参考答案：2016年理数全国卷A题21

2016年理数全国卷B题21

（Ⅰ）讨论函数 $f(x)= \dfrac {x-2}{x+2} e^x$ 的单调性，并证明当 $x \gt 0$ 时， $(x-2)e^x + x +2 \gt 0$ ;

（Ⅱ）证明∶当 $a \in [0,1)$ 时，函数 $g(x)= \dfrac{e^x-ax -a}{x^2}(x \gt 0)$ 有最小值. 设 $g(x)$ 的最小值为 $h(a)$ ，求函数 $h(a)$ 的值域.

2016年理数全国卷C题21

设函数 $f(x)= \alpha \cos 2x + ( \alpha -1 )(\cos x +1)$ ，其中 $\alpha \gt 0$ ，记 $|f(x|$ 的最大值为 A.

（I）求 $f'(x)$ ;

（Ⅱ）求 $A$ ;

（Ⅲ）证明 $|f'(x)| \leqslant 2A$ .

2017年理数全国卷A题21

已知函数 $f(x) = a e^{2x} + (a-2)e^x -x$ .

（1）讨论 $f(x)$ 的单调性;

（2）若 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

2017年理数全国卷B题21

已知函数 $f(x)= a x^2 -ax - x \ln x$ ，且 $f(x) \geqslant 0$ .

（1）求 $a$ ;

（2）证明∶ $f(x)$ 存在唯一的极大值点 $x_0$ ，且 $e^{-2} \lt f(x_0) \lt 2^{-2}$ .

2017年理数全国卷C题21

已知函数 $f(x)=x-1-a \ln x$ .

（1）若 $f(x) \geqslant 0$ ，求 $a$ 的值;

（2）设 $m$ 为整数，且对于任意正整数 $n$ ， $(1+\dfrac{1}{2})(1+ \dfrac{1}{2^2}) \dots (1+ \dfrac{1}{2^n}) \lt m$ ，求 $m$ 的最小值.

2018年理数全国卷A题21

已知函数 $f(x) = \dfrac {1}{x} -x + a \ln x.$

（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；

（2）若 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_1,x_2$ ，证明∶ $\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} \lt a-2$

参考答案：2018年理数全国卷A题21

2018年理数全国卷B题21

已知函数 $f(x) = e^x - a x^2$ .

（1）若 $a=1$ ，证明∶当 $x \geqslant 0$ 时， $f(x) \geqslant 1$ ；

（2）若 $f(x)$ 在 $(0, + \infty)$ 只有一个零点，求 $a.$

参考答案：2018年理数全国卷B题21

2018年理数全国卷C题21

已知函数 $f(x) = (2+x+a x^2) \ln (1+x) -2x$ .

（1）若 $a=0$ ，证明∶当 $-1 \lt x \lt 0$ 时， $f(x) \lt 0$ ；当 $x \gt 0$ 时， $f(x) \gt 0$ ;

（2）若 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点，求 $a$ .

参考答案：2018年理数全国卷C题21

2019年理数全国卷A题20

已知函数 $f(x)=\sin x - \ln(1+x)$ , $f'(x)$ 为 $f(x)$ 的导数，证明∶

（1） $f'(x)$ 在区间 $(-1, \dfrac{\pi}{2})$ 存在唯一极大值点；

（2） $f(x)$ 有且仅有 2 个零点.

参考答案：2019年理数全国卷A题20

2019年理数全国卷B题20

已知函数 $f(x)= \ln x - \dfrac{x+1}{x-1}$

（1）讨论 $f(x)$ 的单调性，并证明有且仅有两个零点;

（2）设 $x_0$ 是 $f(x)$ 的一个零点，证明曲线 $y=\ln x$ 在点 $A(x_0, \ln x_0)$ 处的切线也是曲线 $y=e^x$ 的切线.

参考答案：2019年理数全国卷B题20

2019年理数全国卷C题20

已知函数 $f(x)=2 x^3 -a x^2 +b$ .