第二章，四维和三维旋转群

在这一章，从正交对称性出发给出了旋转群的方程。作为这些群的应用，介绍了晶体群和开普勒问题。

考虑四维矢量空间，向量对自身的标积定义为模，这看起来就是距离空间和内积空间的联系。

通过推导，得到了两个不同向量间的标积，也就是两个四元数间的标积。

这是常用的公式，要注意四元数是非交换的，所以乘积顺序不能改变

两个四元数是正交的，如果他们的标积为0，一个四元数是单位化的，如果他关于自身的标积为1。

通过关系可以定义一个超曲面，a就是垂直于超曲面的向量。平面对称性的表述可以这样得到。

关于超曲面的对称性，x关于超曲面的对称点x‘可以这样得到，过点x作垂直于超曲面的直线，并且延长同样的长度。

其实，就是点关于直线的对称点的推广，中垂线，中垂面，中垂超曲面。

假定超曲面经过原点，于是经过一番推导可得到

这个好像是三反射定理，任意的旋转可以视为偶数次对称的复合，任意的反射是奇数次对称的复合。反射和旋转是正交变换的两种形式。

旋转是保向的变换，行列式为1，反射是反向的变换，行列式为-1。正交变换要求行列式为，所以这两种就是全部的正交变换了。

四维旋转群用四元数表示就是

附加上反射，就构成了四维正交群，这个群根据定义，是保标积的。也就是作用前后，标积数值不变。

任意的四维转动可以写为三维转动的复合。

这里的记号写错了，应更正为

。

将三维向量空间视为的线性子空间，于是相应的平面对称就是超曲面对称的特例。三维旋转群就是保向旋转的集合，

单位四元数可以表示为，其中u是单位向量，表示过原点的转轴，θ是向量x绕u转过的角度，正方向由右手螺旋规则给出。x的模的保持给出了等式，旋转前后向量长度不变。

考虑四元数在三维旋转下的性质，会发现标量部分不受影响。所有的保向旋转和反向旋转构成了三维正交群

通过推导，可以得到三维旋转的经典公式。

上面公式的矩阵形式，得到的是正交矩阵。即满足。

这一次，考察了旋转群，原来三维正交群的所有元素都能视为旋转，由此旋转还分为正向和反向，这个以前还真不知道。所以三维总感觉是残缺的，或者说是奇异的，就像解析函数在实数范围内是性质古怪的一样，需要一个自然的额外维度来补全这种遗憾。

然后，感觉这书的难度不高，理解上的困难没有多少，毕竟是很经典的代数运算。感觉没必要在写下去了，不需要这种督促方式也能很顺利的看完。所以，休息了这些天，重开范畴论，这次要搞懂伴随函子的概念。

这是这本书的名字，想了解的就自己去了解吧。