抛物线和圆：2011年文科数学全国卷~20

抛物线和圆：2011年文科数学全国卷~20

20.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y=x^2-6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上.

（I）求圆 C 的方程;

（Ⅱ）若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于A，B 两点，且 OA \perp OB，求 a 的值.

【解答第1问】

曲线与 y 轴的交点坐标为：(0,1), 记作点 P. 曲线与 x 轴的交点及坐标可记作：T_1(t_1,0), T_2(t_2,0).

由韦达定理可得：t_1+t_2=6, \quad t_1 t_2 = 1

|T_1T_2|^2 = 6^2 - 4 \times 1 = 32

线段 T_1T_2 的垂直平分线方程为： x=3, 圆心 C 在这条直线上，其坐标可设为：(3,c)

因为 P, T_1, T_2 三点共圆，与圆心的距离相等；根据勾股定理可得方程：
3^2 + (c-1)^2 = \dfrac{32}{4} + c^2 \\ {解得：} \quad c=1, \quad R^2 = 9
圆 C 的方程为：(x-3)^2 + (y-1)^2 = 9

【解答第2问】
x-y+a=0 \quad \Rightarrow \quad y=x+a \\ {代入圆C的方程：} (x^2-6x+9) + (x+a)^2 -2(x+a) + 1 - 9 = 0 \\ 2x^2 +2(a-4)x + (a-1)^2 = 0 \\ {由韦达定理可得：} \quad x_A + x_B = (4-a), \quad x_A x_B = \dfrac{1}{2}(a-1)^2

OA \perp OB \Rightarrow \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} \Rightarrow x_A x_B + y_A y_B = 0 \Rightarrow 2 x_A x_B + a (x_A + x_B) + a^2 = 0 \\ \therefore (a-1)^2 + a(4-a) + a^2 = 0 \\ (a+1)^2 = 0 \\ a=-1

结论：a=-1 .

【心得体会】

这是一个2011年的文科数学题，难度较低。

在第1问中，我们应用抛物线的对称性和垂径定理简化计算；在第2问中，综合应用韦达定理和向量方法，解决垂直问题。

第1问中，如果使用圆的标准方程，代入3个点的坐标再求参数，也是可以的，但计算量略大。

第2问中，除了向量方法，还有以下思路可供选择：勾股定理、两直线的斜率之积为-1.

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