海森堡（Heisenberg）不确定性原理

在日常生活中，你能很容易地确定物体的速度和相对位置，比如高速摄像机能够确切地确定你超速的位置和速度，并能将罚单准确地寄到你手里。

但如果你是量子世界中的一个粒子，交警就不太容易给你寄超速罚单了，因为他们如果想确定你的速度，就无法精确地定位你的位置；如果想精确定位你的位置，就无法精确确定你的速度。

这就是量子世界中所谓的海森堡不确定性原理，在量子世界中广泛成立，是粒子波动性的一种本质体现。

比如水中的涟漪，也即是水波。如果想精确测定水波的波速，你最好测定让更多的波峰和波谷通过你的测量点，通过的波峰和波谷越多，波速测量得就越准确；但是波的位置就越含糊，——通过了那么多的波峰和波谷，到底哪个位置算是波的位置？

相反，如果你仅测量某一个固定的波峰，那么就很容易确定它的位置。但是因为缺乏其他波峰或波谷的信息，就难以确定它的确切的速度。

简而言之：不确定性原理描述了两个互补属性之间的权衡，例如速度和位置。

对于两个物理量 $A和B$ ，其Hermitian算子分别用 $\hat{A} 和\hat{B}$ 表示，它们的对易子（commutator）为 $[\hat{A} ,\hat{B} ]=\hat{A} \hat{B}-\hat{B} \hat{A}=i\hat{C}$ 。比如粒子的位置 $x$ 和动量 $p_{x}$ 的算子 $\hat{x} 和\hat{p} _{x}$ , $[\hat{x} ,\hat{p} _{x}]\phi =-xiℏ\frac{d\phi }{dx}+ iℏ\frac{d(x\phi )}{dx}=iℏ\phi$ ，这里算子 $\hat{C} =ℏ$ ,也即是对后面的波函数简单乘上系数ℏ。

根据量子力学的公设，我们可以证明两个物理量测量误差的积（标准偏差）大于或等于 $\frac{1}{2}〈 [\hat{A} ,\hat{B} ]〉$ ，其中 $〈 [\hat{A} ,\hat{B} ]〉$ 为 $[\hat{A} ,\hat{B} ]$ 的平均值。

这就是Heisenberg不确定性原理。

Heisenberg没有对上述结论提供任何证明，只是用电子与电磁波的相互作用的思想实验来说明了一下。这个思想实验又称为Heisenberg显微镜。

下面我们用严格的数学方法证明海森堡不确定性原理。

物理量 $A$ 的测量方差 $(\Delta A)^2$ 为其标准偏差的平方，即：

$(\Delta A)^2=〈(\hat{A}-〈\hat{A} 〉)^2〉$ （1）

其中 $〈X〉$ 表示物理量 $X$ 的测量平均值，将上述表达式展开后可得：

$(\Delta A)^2=〈(\hat{A}-〈\hat{A} 〉)^2〉=〈\hat{A}^2〉-2〈\hat{A} 〉〈\hat{A} 〉+〈\hat{A} 〉^2=〈\hat{A}^2 〉-〈\hat{A} 〉^2$

即

$(\Delta A)^2=〈\hat{A}^2 〉-〈\hat{A} 〉^2$ （2）

算子 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ 的标准偏差算子记作 $\hat{𝒜} =\hat{A} -〈\hat{A} 〉$ 和 $\hat{ℬ} =\hat{B} -〈\hat{B} 〉$ ，你可以看出 $[\hat{𝒜} ,\hat{ℬ} ]=[\hat{A} ,\hat{B}]$ 。我们知道对于物理量 $u$ ，它的大小可表示为 $u=〈\phi |\hat{u} \phi 〉$ ，所以

$(\Delta A)^2\cdot (\Delta B)^2=〈\Psi |\hat{𝒜} ^2\Psi〉〈\Psi |\hat{ℬ}^2 \Psi 〉=〈\hat{𝒜} \Psi |\hat{𝒜} \Psi〉〈\hat{ℬ} \Psi |\hat{ℬ} \Psi〉$

上面用到了Hermitian算子的性质。根据Schwarz不等式，有

$(\Delta A)^2\cdot (\Delta B)^2=〈\hat{𝒜} \Psi |\hat{𝒜} \Psi〉〈\hat{ℬ} \Psi |\hat{ℬ} \Psi〉\geq |〈\hat{𝒜} \Psi|\hat{ℬ} \Psi〉|^2$

因为

$〈\hat{𝒜} \Psi|\hat{ℬ} \Psi〉=〈\Psi|\hat{𝒜} \hat{ℬ} \Psi〉=〈\Psi|([\hat{𝒜}, \hat{ℬ}]+\hat{B} \hat{A} ) \Psi〉=i〈\Psi|\hat{C} \Psi〉+〈\hat{ℬ} \Psi|\hat{𝒜} \Psi〉=i〈\Psi|\hat{C} \Psi〉+〈\hat{𝒜} \Psi|\hat{ℬ} \Psi〉^*$

所以

$i〈\Psi|\hat{C} \Psi〉=2iIm\left\{ 〈\hat{𝒜} \Psi|\hat{ℬ} \Psi〉 \right\}$

这就意味着

$|〈\hat{𝒜} \Psi|\hat{ℬ} \Psi〉|^2\geq \frac{|〈 \Psi|\hat{C} \Psi〉|^2}{4}$

即

$(\Delta A)^2\cdot (\Delta B)^2\geq |〈\hat{𝒜} \Psi|\hat{ℬ} \Psi〉|^2\geq \frac{|〈 \Psi|\hat{C} \Psi〉|^2}{4}$ （3）

考虑到 $|〈\Psi|\hat{C} \Psi〉|=|〈\Psi|[\hat{A},\hat{B} ] \Psi〉|$ ，所以有

$\Delta A\cdot \Delta B\geq \frac{1}{2} |〈\Psi|[\hat{A},\hat{B} ] \Psi〉|$ (4)

这分两种情况：

（a） $\hat{C} =0$ ，意味着算子 $\hat{A} ，\hat{B}$ 对易，则 $\Delta A\cdot \Delta B\geq0$ ，即两个物理量的测量误差可以任意小，也即是它们可以同时被精确地测量出来。

（b）在物理量为位置和动量的情况下， $\hat{C} =ℏ$ ，也即是 $\Delta A\cdot \Delta B\geq \frac{ℏ}{2}$ 。

也即是说你不能同时确切地确定粒子的位置和动量两个物理量。因为当你想尽量提高粒子位置测量精度的时候，粒子的动量测量值的测量偏差就会增大，同样当你想提高动量的测量精度时，位置的测量偏差也会增大，如图1所示。海德堡不确定性原理是粒子波动性的一种自然属性，当首次估算系统大小时，就能看出它的作用。

图1 Heisenberg不确定性原理示意图。以单个粒子在

x

轴的位置为例，粒子位于

x=0

处，

|\Psi (x)|^2

表示测量位置上相应的测量概率密度，如果曲线窄而高，表明位置的测量精度高，波函数

\Psi (x)

可以展开成无穷级数的形式

\Psi (x)=\sum\nolimits_{p}c_{p}e^{ipx}

，其中

p

为粒子的动量，注意表达式中每一项

e^{ipx}

为动量算子的特征函数，所以如果

\Psi (x)=e^{ipx}

，相应的动量就有一个确定的测量值

p

。但是如果

\Psi (x)=\sum\nolimits_{p}c_{p}e^{ipx}

，那么动量测量值为

p

的概率为

\vert c_{p} \vert ^2

。当

p

的分布范围较广时，相应位置分布的曲线就比较窄

\vert \Psi (x) \vert ^2

。反之亦然。

案例1：H原子系统的大小的估算

假设原子核静止不同，电子绕核旋转。我们知道电子必须要遵守海森堡不确定性原理的，也即是 $\Delta x\cdot \Delta p_{x}\geq \frac{ℏ}{2}$ ,在最紧凑的情况下， $\Delta x\cdot \Delta p_{x}= \frac{ℏ}{2}$ 。我们可以将这里的 $\Delta x$ 作为氢原子的半径 $r$ ，其中 $\Delta p_{x}=\sqrt{〈p_{x}^2〉-〈p_{x}〉^2} =\sqrt{〈p_{x}^2〉-0}=\sqrt{〈p_{x}^2〉}$ ，所以 $r\cdot \sqrt{〈p_{x}^2〉} =\frac{ℏ}{2}$ ，或者 $\sqrt{〈p_{x}^2〉} =\frac{ℏ}{2r}$ 。假设粒子的总能量为动能和势能之和： $E=\frac{ 〈p^2〉 }{2m} -\frac{e^2}{r} =\frac{ 〈p_{x}^2+p_{y}^2+p_{z}^2〉 }{2m} -\frac{e^2}{r} =\frac{3ℏ^2}{8mr^3} -\frac{e^2}{r}$ 。能量的最小值通过 $\frac{dE}{dr} =0=-2\frac{3ℏ^2}{8mr^3} +\frac{e^2}{r^2}$ 求取，即 $e^2=\frac{3ℏ^2}{4mr}$ 。

反过来可求得氢原子的半径 $r=\frac{3ℏ^2}{4me^2} =0.75a_{0}$ ,其中 $a_{0}=0.529Å$ ，为氢原子的玻尔第一轨道半径。由此可见，仅根据海森堡不确定性原理估算的氢原子的半径与 $a_{0}$ 在同一个数量级上。

根据海森堡不确定性原理，当 $x=0,\Delta x=0$ 、也即是电子坍缩到原子核上时，系统的能量达到了 $-∞$ ，即系统向外释放无穷大的能量，这对宇宙来讲无疑是一场灾难。

另外海森堡不确定性原理用于估算物质的质量密度时，也能得到正确的数量级。

那么现在的问题是：电子能坍缩到原子核上吗？如果能的话，是不是通过这种方式就可以消灭整个宇宙？

案例2：原子核大小的估算

一个原子核有多大？根据海森堡不确定性原理，我们仅需知道一个参数就可以将其估算出来，——核子的结合能：数量级为8 MeV。现在进入一个由核力掌控的世界，任何问题看起来都相当复杂。忽略复杂的核子作用力，假设一个核子在一个平均势能的空间内运动，核子的结合能为 8 MeV，所以我们可以假设原子核动能的数量级差不多也是这么多，即 $E=8$ MeV。根据动能与动量的关系，我们有 $E=\frac{ 〈p^2〉 }{2m_{N}}=\frac{ 〈\Delta p^2〉 }{2m_{N}}$ （这里假设整个核子静止不懂，平均动量为0），由此可以计算得到 $\Delta p=\sqrt{〈\Delta p^2〉} =\sqrt{2m_{N}E}$ 。根据海森堡不确定性原理，在最紧凑的情况下，核子的半径 $a=\frac{ℏ}{2\Delta p} =\frac{ℏ}{2\sqrt{2m_{N}E} }$ 。采用原子单位制（ $ℏ=1，e=1,m=1$ ，其中， $m$ 为电子的质量），计算可得 $a=\frac{ℏ}{2\sqrt{2m_{N}E} }=\frac{ℏ}{2\sqrt{2\times 1840\times 8\times 10^{6}\times 3.67516\times 10^{-2}} }$ a.u. $\approx 10^{-13}$ cm。比氢原子的半径大概小100,0000倍。实验结果验证了我们的计算结果：原子核大小就是这么一搞数量级！

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