实分析笔记(1.5)连续统势

连续统势

本段内容说明了无限集不一定是可数集
定理:闭区间 $[0,1]$ 不是可数集。
证明：使用反证法：
假设 $[0,1]=\{a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots\}$ 是一个可数集.于是 $[0,1]$ 中有一个闭区间 $I_1$ 使 $a_1\notin I_1,$ 有 $I_2$ 中的闭区间使 $a_2\notin I_2$ ,有 $I_2$ 中的闭区间 $I_3$ 使 $a_3\notin I_3$ ,等等.这样我们得到 $[0,1]$ 中的单调递减闭区间列 $\{I_n\}$ 使得 $a_n\notin I_n$ .这样由数学分析中的闭区间套定理可知：存在 $\xi\in\cap_{n=1}^{\infty} I_n$ .显然 $\xi\in[0,1]$ ，但对任何的 $n$ 有 $\xi\neq a_n$ ，推出矛盾.因此 $[0,1]$ 不可数.证毕.

以后我们把与 $[0,1]$ 等价的集合称为有连续统势,下面介绍和连续统势相关的定理和一些重要的具有连续统势的集合.

任何区间具有连续统势
定理1：任何区间具有连续统势.特别地，实数集 $R$ 具有连续统势.(这个定理的证明比较容易，读者可以自行尝试).

n元数列
设 $n$ 是一个大于 $1$ 的正整数.若数列 $\{a_k\}_{k\geq1}$ 中的项仅由 $0,1,\cdots,n-1$ 这 $n$ 个数组成，则称 $\{a_k\}$ 为一个 $n$ 元数列；又若 $\{a_k\}$ 中
只有有限项不为 $0$ 则称 $\{a_k\}$ 为有限 $n$ 元数列;不然则称为无限 $n$ 元数列.

引理：设 $A$ 为无限集， $B$ 是至多可数集，则 $A\sim B$ .则 $A\sim B$ .
证明:不妨设 $A\cap B=\emptyset$
因为 $A$ 为无限集，因此我们可以取 $A$ 的可数子集 $A_1$ ，此时 $A_1\cup B$ 可数，因此 $A-A_1\sim A-A_1,\ \ A_1\sim A_1\cup B_1,$ $(A-A_1)\cap A_1=\emptyset,\ (A-A_1)\cap(A_1\cup B)=\emptyset,$ 从而得到 $A=(A-A_1)\cup A_1= (A-A_1)\cup(A_1\cup B)=A\cup B$ 引理证毕

定理：设 $n\geq2$ ,则 $n$ 元数列全体连续统势。
证明：首先容易证明 $n$ 元有限数列全体是可数的.所以由上面的引理，我们只需要证明 $(0,1]$ 与无限 $n$ 元数列全体等价。
为此设 $x\in (0,1]$ .于是有唯一的正整数 $k_1，1\leq k_1 \leq n,$ 使 $\frac{k_1-1}{n}<x\leq\frac{k_1}{n},$ 取 $a_1 = k_1-1$ .又有唯一的 $k_2,1\leq k_12\leq n,$ 使 $\frac{k_1-1}{n}+\frac{k_2-1}{n^2}<x\leq\frac{k_1-1}{n}+\frac{k_2}{n^2},$ 取 $a_2= k_2-1$ .又有唯一的 $k_3,1\leq k_3\leq n,$ 使 $\frac{k_1-1}{n}+\frac{k_2-1}{n^2}+\frac{k_3-1}{n^3}<x\leq\frac{k_1-1}{n}+\frac{k_2-1}{n^2}+\frac{k_3}{n^3}$ 取 $a_3=k_3-1,$ 如此等等.一般地， $\Sigma_{i=1}^m\frac{k_1-1}{n^i}<x\leq \Sigma_{i=1}^{m-1}\frac{k_1-1}{n^i}+\frac{k_m}{n^m}$ 随后令 $a_m=k_m-1$
令 $m\rightarrow 0,$ 即得 $x=\Sigma_{i=1}^{\infty}\frac{a_i}{n^i} \ \ \star$ 由 $a_i$ 的取法可知 ${a_i}$ 是一个无限n元数列。这样由上式我都没可以得到从 $(0,1]$ 到无限 $n$ 元数列全体的一个映射 $f:$ 对每一个 $x\in (0,1]$ $f(x)=\{a_1,a_2,\cdots,a_i,\cdots\}.$ 易知 $f$ 是一个双射，从而无限 $n$ 元数列全体有连续统势.定理证毕.
注意：如果 $n=10$ ,则 $\star$ 式就是通常的十进制小数表示法。

可数集的子集全体具有连续统势
证明： 设 $A$ 是正整数全体 $N$ 的任一非空子集.定义 $a_n=\left\{ \begin{aligned} 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ , n\in A \\ 0，n\in N-A \end{aligned} \right.$ 并令 $f(A)=\{a_1,a_2,\cdots\},\ \ f(\emptyset)=\{0,0,\cdots\}.$
显然 $f$ 建立了 $N$ 的子集全体与二元数列全体之间的一个双射.后者具有连续统势.从而可数集的子集全体居于连续统势.定理证毕.

直积对连续统势的影响
定理：至多可数个有连续统势的集的直积有连续统势。
证明：不妨设对每一个 $n\geq1$ , $X_n$ 是一个二元数列全体， $X=\Pi _{n=1}^{\infty}X_n$ 是他们的直积.为了证明本定理，只需证明 $X$ 与二元数列全体等价.
此时对每一个 $x=\{x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots\}\in X$ 令
$f(x)=\{x_1^{(1)},x_2^{(1)},x_2^{(2)},x_3^{(1)},x_2^{(2)},x_1^{(3)},\cdots,x_n^{(1)},x_{n-1}^{(2)},\cdots,x_1^{(n)},\cdots \}$ 其中 $x_n=\{x_1^{(n)},x_2^{(n)}\cdots,x_k^{(n)},\cdots\},\ n=1,2,\cdots$ 是二元数列.按照上述法则， $f$ 是 $X$ 到二元数列全体的一个映射，它显然是一个双射.因此 $X$ 与二元数列全体等价.定理得证.
注记：细心的读者可能会发现，这里似乎与我们证明可数个可数集的并仍然是可数集的过程中用到的对角线法则有着异曲同工之妙，对角线法则是数学分析中常用的一种手段，学过数学分析或者高等数学的读者可以思考以下我们在哪里还用过对角线法则.

推论1：平面 $R^2$ 及空间 $R^3$ 都有连续统势.
推论2：实数列全体有连续统势.

实分析笔记(1.5)连续统势

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