分析力学基本原理介绍4.1：哈密顿原理和拉格朗日方程

如果说达朗伯原理是一个从系统的瞬时位形，以及微小虚位移出发，来描述系统运动的“微分原理”，那么哈密顿原理就是一个从系统经过一段时间间隔的整体运动，以及实际运动的微小虚变分出发的“积分原理”。

$\bullet$ 一些必要的概念：

根据之前的介绍，对于一个拥有 $n$ 自由度的系统，它的瞬时位形可以通过引入 $n$ 个线性独立（正交）的广义坐标 $q_1, q_2,...,q_n$ 来描述。于是，系统的瞬时位形，在由这 $n$ 个广义坐标 $q_1, q_2,...,q_n$ 张成的笛卡尔超空间内只对应一个点。

我们把这个 $n$ 维的笛卡尔超空间叫做位形空间(configuration space)。

当系统的状态随着时间改变，它在位形空间对应的点会描绘出一条曲线，这条曲线被称为系统的运动路径(path of the motion)。

相应的，系统的运动(motion of the system)则是指系统在位形空间的点沿上述曲线的运动。

在位形空间里，时间通常被作为这些运动路径的参量，来描述运动的进程，路径上的每一个点，都关联了一到两个时间值。

需要注意的是，位形空间不一定与我们实际的三维空间有多大相似，可以说，两者是完全不同的概念。一旦我们考虑起了广义坐标，那么在一般情况下，坐标就不再局限于只具有长度的量纲（不再局限于位置坐标），所以在位形空间里，运动路径上的每一个点都代表了系统，作为一个整体，在某个给定时刻的瞬时位形，所以切忌将其与“系统作为一个质点，在空间中的运动”这个概念混淆。

哈密顿原理(Hamilton's principle)，描述的是一个所受（除约束力之外的）所有力都能够由一个标量势函数求导得到的力学系统的运动。这个势函数可以含有坐标，速度甚至时间。这样的力学系统被称为单演系统(monogenic system)。当势函数仅仅显含坐标时，单演系统亦是保守系统。

$\bullet$ 具备了以上定义，我们就可以来看看哈密顿原理的具体内容了：

对于一个单演系统，它从 $t_1$ 时刻到 $t_2$ 时刻的真实运动能够使得路径积分，或者叫作用量(action)：

$I = \int_{t_1}^{t_2}\mathscr{L}\; dt$

取得驻值(stationary value)。

其中动势 $\mathscr{L} = T - U$ ，是我们熟悉的拉格朗日函数。

换句话说，在一切容许的，从 $t_1$ 时刻到 $t_2$ 时刻的运动路径中，系统将会沿着一条能够使得上述作用量积分取得驻值的路径运动——所选运动路径和其相邻运动路径的作用量以及作用量的一阶小量必须相等——所以作用量 $I$ 在定点 $t_1$ 与 $t_2$ 之间的变分(variation)等于零：

$\mathbf{\delta} I = \delta \int_{t_1}^{t_2} \mathscr{L}(q_1,...,q_n, \dot{q_1},...,\dot{q_n},t) = 0$

在之前利用达朗伯原理进行推导的时候，为消去系统运动方程的约束力，我们加入了一些对于约束的限制，我们要求了存在于系统的约束只能是理想的完整定常约束，除此之外，我们对系统受到的主动力，即除约束力之外的其他力没有要求，这些力甚至不需要具备保守性，不需要由一个标量势函数得到。所以，从限制的多少来看，达朗伯原理比哈密顿原理更具有一般性。

当只考虑系统中存在完整约束时，哈密顿原理则是拉格朗日方程的充要条件。本篇我们只侧重考虑哈密顿原理的充分性（必要性的证明可以自己查阅），即利用哈密顿原理，推导出拉格朗日方程。但是其中有一个我们不得不使用的数学原理：变分原理(principle of variational calculus)，所以接下来我打算简单说一下变分法(methods of calculus of variation)以及它的一些应用。（更多关于变分法的内容可以自己去翻看一些数学教材）

与分析普通函数（数的函数）的优化问题所使用的微积分相对，变分法主要用于研究泛函（函数的函数）的优化问题，即泛函的极值问题。

（在维基百科上可以找到更详细的介绍，所以不再赘述）

我只打算介绍变分法中一类最简单的问题——泛函的一维最值问题：

存在一个定义在路径 $y = y(x)$ 上的函数 $f(y, \dot{y},x)$ ，其中 $\dot{y} \equiv \frac{dy}{dx}$ ， $x$ 是路径的参量，它在定点 $x_1$ 和 $x_2$ 之间的路径积分 $J$ （此后称为泛函）可以被表示成：

$J = \int_{x_1}^{x_2}f(y,\dot{y},x)\;dx$

如图（我弱鸡从网上盗的图，版权归原作者所有），我们需要做的，就是找出一个所谓的“正确“路径 $y(x)$ ，对其余只相差了微小改变量的比邻“错误”路径而言，使得泛函 $J$ 在两定点 $x_1$ ， $x_2$ 之间取得驻值。

来源：http://www.newenglandphysics.org/physics_world/am/calc_var.htm

需要强调的是，因为 $x_1$ 和 $x_2$ 是定点，即路径在这两点上没有任何微小变化，所以在二者之间的任意路径头尾都必须满足： $y(x_1) = y_1$ ， $y(x_2) = y_2$ 。在这两定点之间变化的，不是变量 $x$ ，而是函数 $y$ 与变量 $x$ 的关系，即路径 $y(x)$ 的形式。这也是为什么这类问题被归为了一维问题，因为泛函表达式中的 $y$ 并不是变量坐标，而是一个关于 $x$ 的函数。

因为泛函会在“正确”路径上取得驻值，所以相对于周围的比邻路径，该泛函的变分必须为零。我们不妨把这个微小变化量用一个参数 $\alpha$ 表示，则所有可能比邻路径的集合可以被描述为：

$\boxed{y(x,\alpha) = y(x,0) + \alpha\eta(x)}$

第一项 $y(x,0)$ 是所谓的“正确”路径，它的微小变化量 $\alpha$ 为零；第二项中的辅助函数 $\eta(x)$ 被定义成是一个在两端点之间存在一阶与二阶导的连续非奇异函数，并且在这两个端点上，我们有： $\eta(x_1) = \eta(x_2) = 0$ 。

可见，根据上述定义，所有路径（无论“正确”还是“错误”）在两端点 $x_1$ ， $x_2$ 的函数值都相等：

$\begin{align*}y(x_1, \alpha) &= y(x_1,0) + \alpha\eta(x_1) = y(x_1,0) = y_1\\y(x_2, \alpha) &= y(x_2,0) + \alpha\eta(x_2) = y(x_2,0) = y_2\end{align*}$

方框中所表示的不是一条任意比邻路径，而是一组形如这般的参化“家族”，它们包括了“正确”的路径，也包括了所有相邻的“错误”路径。

于是相应地，泛函也是一个含有参数 $\alpha$ 的表达式：

$J(\alpha) = \int_{x_1}^{x_2}f(y(x,\alpha),\dot{y}(x,\alpha),x)\;dx$

根据变分原理，“正确”曲线所对应的泛函需取得驻值，即：

$\left( \frac{dJ}{d\alpha}\right)_{\alpha = 0} = 0$

求上述泛函对变化量 $\alpha$ 的导，将微分算符放入积分：

$\frac{dJ}{d\alpha} = \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial}{\partial \alpha}f(y(x,\alpha),\dot{y}(x,\alpha),x)\;dx = \int_{x_1}^{x_2}\left( \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \alpha} + \frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\frac{\partial \dot{y}}{\partial \alpha}\right)dx$

第三项 $\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \alpha} = 0$ ，所以被略去。

先看第二项，根据定义 $\dot{y} = \frac{\partial y}{\partial x}$ ：

$\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\frac{\partial \dot{y}}{\partial \alpha}\;dx = \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\frac{\partial^2y}{\partial x\partial \alpha}\;dx$

使用简单的分部积分法可以得到：

$\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\frac{\partial^2y}{\partial x\partial \alpha}\;dx = \left.\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\frac{\partial y}{\partial \alpha}\right|_{x_1}^{x_2} - \int_{x_1}^{x_2}\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right)\frac{\partial y}{\partial \alpha}\;dx$

又因

$\frac{\partial y}{\partial \alpha} = \eta(x)$

故

$\left.\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\frac{\partial y}{\partial \alpha}\right|_{x_1}^{x_2} = \frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\left[ \eta(x_2) - \eta(x_1)\right] = 0$

于是

$\left(\frac{dJ}{d\alpha}\right)_{\alpha = 0} = \int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right)\left(\frac{\partial y}{\partial \alpha}\right)_{\alpha = 0}\;dx = 0$

我们已经知道，

$\frac{\partial y}{\partial \alpha} = \eta(x)$ ，辅助函数是一个任意连续函数

上述积分具有这样的形式：

$\int_{x_1}^{x_2}M(x)\eta(x)\;dx = 0$

根据变分法基本引理，如果任意辅函 $\eta(x)$ 在端点间连续且不为零，则 $M(x)$ 必须为零。

于是可以得到：

$\boxed{\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right) = 0}$

这个就是泛函 $J$ 在定点间取得驻值的等价条件：任何能够使其取得驻值的函数 $f$ 都必须要满足上面的等式。这是我们在泛函极值问题中利用变分法直接得到的数学结论，所以目前为止我们还没有赋予其任何物理意义，但从形式上我们就已经能够看出，它其实与拉格朗日方程是相似的。

$\bullet$ 作为补充，很多力学教材的作者在介绍哈密顿原理时，其实更倾向于使用更具有物理意义的表示法——使用虚位移来代表其微小变分。

如，任意“错误”路径在点 $x$ 上偏离了“正确”路径 $d\alpha$ 后导致的变分可用 $\delta y$ 来表示，于是

$\delta y \equiv y(x, 0+d\alpha) - y(x,0)$

第一项使用最优线性近似展开

$y(x,0+d\alpha) = y(x,0) + \left(\frac{\partial y}{\partial \alpha}\right)_{\alpha = 0}d\alpha$

于是

$\boxed{\delta y \equiv \left(\frac{\partial y}{\partial \alpha}\right)_{\alpha = 0}d\alpha}$

同理，泛函 $J$ 在参数偏离了“正确”值 $d\alpha$ 后的微小改变量可用 $\delta J$ 来表示，则

$\delta J \equiv J(0+d\alpha) - J(0) = \left(\frac{dJ}{d\alpha}\right)_{\alpha = 0}d\alpha$

即 $\boxed{\mathbf{\delta} J \equiv \left(\frac{dJ}{d\alpha}\right)_{\alpha = 0}d\alpha}$

可以代入之前得到的积分，表达式变成：

$\boxed{\delta J = \int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right)\delta y\;dx = 0}$

是一种完全等价的写法。

最后编辑于：2020.03.31 14:13:29

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