考虑小范畴到集合范畴的函子F。可以直接验证集合L，巴拉巴拉一大堆，也没明白是什么。

现在我么证明这种构造可以推广到任意范畴，在那里限制的存在性将与积和等子的存在性有关。为了简化，将箭头f的起点和终点记为。

一个范畴是完备的，当每个对象族有一个积，每一对平行箭头有一个等子。

首先，族总是指一个集合索引族，并且我们已经知道了完备性可以得出积和等子的存在性。

又一个长证明，不想看啊。

应该注意到，所有限制的存在性，意味着所有积的存在性，而单个限制的存在性，不能说明两个对应的积的存在。但是当这两个积和限制都存在了，这个限制就是的等子。

等价命题

1.范畴是有限完备的

2.范畴有终对象，二元积和等子

3.范畴有终对象，和拉回

我们介绍了函子的限制，一个明显的推广是将范畴替换为交换图，实际上，这样的图上的限制的概念就等价于图所生成的范畴的限制。

我们选择这样讲是为了简单一些，而且够用了。下面是一些很容易证明的性质。

考虑一个函子，和一个态射族，使得范畴中每个态射都是这个态射族中元素的复合。函子的锥就是这样的序对，并且满足锥的性质。

一个范畴是有限生成的，当

1.有有限多个对象

2.有有限多个箭头，使得范畴中每一个箭头，可以视为这有限多个箭头的复合。

由有限生成的范畴指向有限完备的范畴的函子F，限制存在。

例子：集合，交换群，带幺交换环，线性收缩与巴拿赫空间范畴是完备的及余完备的。一个偏序集视为范畴是完备的，当他作为偏序集是完备的。

这一节，快速浏览而过，因为太抽象了，变为了纯粹的形式推演。里面的条件都是非常形式化的，如果要考虑内容，那就是自找麻烦。因为，纯形式的自然也没办法去具体的说明意义，只能自己去推导，所以没必要再啰嗦了。