28.限制的例子

让我们来看为什么之前的结构是限制的特例。

a.给定一个集合I,将其视为离散范畴I,给定一个函子F:I--C就给出了一个对象族F_i,并且定义了F的一个限制就等价于定义了对象族的积\prod\nolimits_{i\in I}F_i

b.等子作为限制的特例

c.拉回作为限制的特例

d.对偶的有余积,余等子,推出作为余限制的特例。


e.范畴是连接的,如果非空,并且对任意的两个对象,存在这样的锯齿形的图。考虑范畴A中的一个对象A,以及对应的常值函子\Delta _A:\mathcal D\to\mathcal A,定义F的一个余锥(f_D:\Delta _A (D)\to M)_{D\in \mathcal D},由于\Delta _A(D)=A,所以这个余锥只有一个态射,自然就是F的一个余限制,(A,(1_A)_{D\in\mathcal D}),恒等态射是因为余锥只有一个态射f:A\to M,态射之间要满足f=f\circ m也就只要恒等态射了。

f.观察发现,常值函子的余限制一般不是由对象A给出的,实际上,一般A与自身的余积与A不是同构关系。


就到这吧,这次把限制,锥的交换图搞清楚了,通过这几个例子,就理解的更加丰满了。

我们也能看出来锥实际上可看作一个范畴的嵌入,自然也可以视为比范畴更高层次的代数结构的嵌入。函子本身其实就是保持范畴结构的映射,所以视为范畴的嵌入也是很自然的。

这个嵌入,不是完全的,而是选择一部分,忽略一部分,这就像对于映射,选择定义域的一部分,忽略另一部分。在映射的语言中称之为映射在某一定义域子集上的限制,将这种说法推广到函子上去,就是函子的限制了。

也能注意到区别,映射的限制本质上还是集合与子集的简单关系,而函子因为不仅映射对象,还映射箭头,就可以理解为完整结构与部分结构的关系,这个关系就可以很复杂。在这种认识下,函子的限制就是映射限制的推广。

这才是有趣的地方,对数学而言,未知的才令人神往,已知的不过是平凡的带入与求值。提出问题,寻找答案,即使早已被人解决,也非常值得高兴,因为对于自己的世界而言,还需自己掌握,被别人解决和被自己解决完全不是一回事,即使跟着别人的思路走,也会在成功解出答案的那一刻,得到自己的感悟,这些感悟就是对数学的直觉。技术是为直觉服务的,直觉也只能通过大量的技术练习得出。


今天,又浏览了一下数学分析新讲,多了些新的感悟,曾经抽象难懂的符号,变得非常亲切,具体,还有一些章节,涉及的内容竟十分深刻,当初是完全意识不到的。一些证明也十分方便理解,这很不容易,因为让别人看懂真的很难。回头看看,看看成长的历程,确实也很重要,一味的往前冲,是会累的,累了,就茫然了,忘记了为什么要往前冲,这时候就要找回自己的热情,顺便用现在的本领实现过去的梦想。

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