锥

1. 定义

定义1：对于集合 $c$ ， $\forall x \in c$ 有 $\theta x\in c;\theta \ge0$ 则该集合称为锥

定义2：对于集合 $c$ ， $\forall x_1,x_2 \in c$ 有 $\theta_1 x_1+\theta_2x_2\in c;\theta_{1,2} \ge0$ 则该集合称为凸锥

定义3：称 $\theta_0x_0+\theta_1x_1+...+\theta_ix_i+...+\theta_kx_k;\theta_{0...k}\ge 0$ 为凸锥组合

定义4：包含给定任意集合 $c$ 的最小凸锥叫做凸锥包； $\{\theta_0x_0+\theta_1x_1+...+\theta_ix_i+...+\theta_kx_k|x_{0...k}\in c,\theta_{0...k}\ge 0\}$

2.对比仿射组合、凸组合、凸锥组合条件

仿射组合：
$\forall \theta_{0...k}\ , \theta_o+\theta_1+...+\theta_k=1$

凸组合： $\forall \theta_{0...k} \ ,\theta_o+\theta_1+...+\theta_k=1 ; \theta_{0...k}\in[0,1]$

凸锥组合：
$\forall \theta_{0...k} \ ,\theta_{o...k}\ge0$

总结：可见凸组合的条件约束比仿射组合的约束更强那么凸集是仿射集合的一部分，也就是说满足仿射集合条件的一定满足凸集条件进一步说明仿射集是特殊的凸集。例如线段（凸集）只是直线（仿射集）的一部分。同理锥也是凸集的一部分。
上篇：凸集

最后编辑于：2020.03.25 22:12:17