高等数学(九)二重积分

（一）二重积分的概念和性质

1、二重积分的概念

$\iint_D{f\left( x,y \right) \text{d}\sigma}=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^n{f\left( \xi _i,\eta _i \right) \Delta \sigma _i}$
几何意义： $\iint_D{f\left( x,y \right) \text{d}\sigma}$ 在几何上表示以区域D为底，曲面 $z=f\left( x,y \right)$ 为顶，侧面是以D的边界为准线，母线平行于z轴的柱面的曲顶柱体的体积

2、二重积分的性质

性质1 (不等式)

若在D上 $f\left( x,y \right) \le g\left( x,y \right)$ ，则
$\iint_D{f\left( x,y \right) \text{d}\sigma}\le \iint_D{g\left( x,y \right) \text{d}\sigma}$
若在D上有 $m\le f\left( x,y \right) \le M$ ，则
$\iint_D{m\text{d}\sigma}\le \iint_D{f\left( x,y \right) \text{d}\sigma}\le \iint_D{M\text{d}\sigma}$
$\left| \iint_D{f\left( x,y \right) \text{d}\sigma} \right|\le \iint_D{\left| f\left( x,y \right) \right|\text{d}\sigma}$

性质2 (中值定理) 设函数f(x,y)在闭区域D上连续，S为区域D的面积， $\exists \left( \xi ,\eta \right) \in D$ ，使得
$\iint_D{f\left( x,y \right) \text{d}\sigma}=f\left( \xi ,\eta \right) S$

（二）二重积分的计算

1、利用直角坐标系计算

先y后x
$\iint_D{f\left( x,y \right) \text{d}x\text{d}y}=\int_a^b{\left[ \int_{\varphi _1\left( x \right)}^{\varphi _2\left( x \right)}{f\left( x,y \right) \text{d}y} \right]}\text{d}x$
先x后y
$\iint_D{f\left( x,y \right) \text{d}x\text{d}y}=\int_c^d{\left[ \int_{\psi \left( y \right)}^{\psi _2\left( y \right)}{f\left( x,y \right) \text{d}x} \right]}\text{d}y$

2、利用极坐标计算

$\iint_D{f\left( x,y \right) \text{d}x\text{d}y}=\int_{\alpha}^{\beta}{\left[ \int_{\varphi _1\left( \theta \right)}^{\varphi _2\left( \theta \right)}{f\left( \rho \cos \left( \theta \right) ,\rho \sin \left( \theta \right) \right) \rho \text{d}\rho} \right]}\text{d}\theta$

适合用极坐标计算二重积分的特征：

适合用极坐标计算的被积函数，如 $f\left( \sqrt{x^2+y^2} \right) ,f\left( \frac{y}{x} \right) ,f\left( \frac{x}{y} \right)$
适合用极坐标的积分域，如 $x^2+y^2\le R^2$

3、利用奇偶性和对称性计算

若积分域D关于y轴对称，则
$\iint_D{f\left( x,y \right) \text{d}x\text{d}y}=\left\{ _{0,f\left( -x,y \right) =-f\left( x,y \right)}^{\iint_{Dx\ge 0}{f\left( x,y \right) \text{d}x\text{d}y},f\left( -x,y \right) =f\left( x,y \right)} \right.$

4、利用变量对称性计算

若D关于y=x对称，则
$\iint_D{f\left( x,y \right) \text{d}x\text{d}y}=\iint_D{f\left( y,x \right) \text{d}x\text{d}y}$

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