听了冯老师在七月在线上讲的【纯白版手推SVM】一节，感觉很顺畅，没有那么么多的数学名词，直接进入本质，不经意间就得出了结果，也下定决心整理一下自己对SVM的认识。下面是自己对SVM的t通俗理解！具体的理论数学推导，可以参考支持向量机通俗导论（理解SVM的三层境界）这篇文章。

SVM和DeepLearning：SVM在解决中小规模样本（相对少）、非线性（惩罚变量）、高维（核函数）模式识别方面具有较大的优势。DP处理的对象主要为图像和声音，优势在于对原始特征的表示，但是神经网络相当于一个黑匣子模型，如果在一些关键的应用场合，出于风险的原因，用户可能会拒绝，但是如果已经提取到了较好对图像进行表示的特征，SVM是有理论推导过程的，有较好的可解释性。

SVM—线性可分

传统的监督学习，比如说0-1分类：我们需要学习一个决策边界g(x)，不同的分类器（比如说决策树、神经网络，逻辑回归）会给出不同的分类边界。而这些都是在找一个“好的”的决策边界。那么如何量化一个决策边界好的程度呢？

不同的决策边界

首先看一下SVM的关键假设：对于线性可分的情况下，决策边界有很多个，SVM关键的问题是在这么多决策边界中选一个最好的：决策边界两边最近的样本到决策边界的间隔最大。这样具有比较高的鲁棒性（比如说有一个噪点的扰动不会导致决策边界的变动）。

如下图，H就是决策边界，H1、H2是平行于H且过离H最近的两类样本的直线，我们将H1到H2之间的距离成为“街宽”，我们希望“街宽”越宽越好。当给定了样本点后，如何找出决策边界使得间隔最大呢？我们定义和决策边界垂直的向量w，现在有一个样本向量u。决策规则(Decision Rule)：如果这个u在w的投影大于一个值，就是正样本，反之负样本。（公式1），这是对于所有样本而言。

公式1

在训练集中，需要正样本离街的距离大于等于1,反之亦然（最大间隔假设），伸缩W就可以让间隔无限大，这里为了计算方便令距离大于等于1（公式2）。

最大间隔假设

对于训练样本，标签都是已知的，正样本标签为1，负样本标签为-1，现在做一个转换，对公式2两边同时乘以标签yi,我们就可以将两个式子合并为一个公式（公式3），在训练集中所有样本都需要满足这个公式。

公式3

街宽就等于X+和X-的差在w上的投影（距离的定义是在单位向量上的投影），同时对于街边的点要求Yi（wx+b）=1，对公式进行整理可以得到我们的优化目标（公式4）。

街宽求解示意图

街宽推导过程

我们的目标是街宽最大，同时在街边的点满足等号。要求等于1，街边的点也就是所谓的支持向量的候选集，因此我们的问题可以转化为下式：求出了优化的目标：t因此我们的优化目标就是：

带约束的最小值问题

这是带约束的最小值问题，很自然我们想到了拉格朗日乘子法，我们可以写出下面的表达式，分别对w和b求偏导，令其等于0，可以看到w是街边x的线性组合。这里只需要等式约束。

拉格朗日约束求最小值

再将对w和b求偏导的结果带入L中，可以看到L只取决于训练样本中两个向量之间两两的点乘。其中alpha是拉格朗日乘子，如果我们求得了alpha，我们就知道了w.

代入结果

上式中朗格朗日乘子只有很少的一部分部位0，不等于0的乘子所对应的样本点就叫做支持向量，也就是在街边的那些点。通过对凸优化问题（KKT、SMO）的求解就可以求得alpha了，w也就求出了，b也很容易求得。这时决策边界g(x)也就知道了，我们就可以对待分类的样本进行分类了。

对待分类样本金兴预测

SVM—线性不可分—核函数

对于线性可分的情况下，根据上述公式的推导，只需要求得待分类样本与所有训练样本的内积，但是只有支持向量的朗格朗日乘子是不等于零的，因此只需要就算待分类样本与支持向量的内积即可。

上面都是对于线性可分的情况，那么如果样本时线性不可分呢？那就将样本向高维空间转化，使其线性可分（网上有很多关于这方面的例子），那么关键就来了，如何将低维空间的小转化为高维空间的y呢？我们需要找到这个映射，但是这个映射并没有系统的方法，但是我们关系的事高维空间里样本的内积的值，并不是如何映射！核函数的基本作用就是接受两个低维空间的响亮，能够计算出经过某个变换后在高维空间里两个向量的内积值，因此这里我们可以借助核函数实现低维到高维的映射。

核函数

SVM—线性不可分—松弛变量

当我们使用了核函数后向高维空间映射后，问题仍然线性不可分，那么我们就需要松弛变量时的问题可分。

松弛变量

SVM—惩罚因子

惩罚因子