用解析几何的观点来讨论贝特朗悖论

贝特朗悖论

1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”（亦称”贝特朗怪论“）：

在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。

该问题有如下三种解法

解法一

如图，任取一条弦，与圆心的距离d $\in$ [0,1].而当距离小于 $\frac{1}{2}$ 时，弦长大于三角形边长。所以，概率为 $\frac{1}{2}$ 。

解法二

如图，过圆上任意一点做圆的切线。所有以该点为端点的弦与该点切线的夹角大于 $60^\circ$ 小于 $120^\circ$ 时弦长大于三角形边长。所以概率为 $\frac{1}{3}$ 。

解法三

如图，当弦的中点在阴影标记的圆内时，弦的长度大于三角形的边长，而大圆的弦中点一定在圆内，大圆的面积为小圆面积的两倍。所以概率为 $\frac{1}{4}$ 。

下面我们使用解析几何的方法来讨论三种情况

一、概率为 $\frac{1}{2}$ 的情况

直线与圆的表示

设事件A为在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长。

以圆心为坐标原点建立直角坐标系，不妨取圆的半径为长度“1”。

此时，可以写出圆的方程为 $x^2+y^2=1$

平面内任意一条直线可以表示为 $y = kx + b$

则圆心到直线的距离
$d=\frac{|b|}{\sqrt{k^2+1}}$

直线与圆相交的情况

当直线与圆心的距离小于1的时候，此时圆与直线相交，直线为某一条弦所在直线的方程。

即
$d=\frac{|b|}{\sqrt{k^2+1}}\le1$

两边同时平方，经过移项整理即可得 $b^2-k^2\le1$

建立 $bok$ 坐标系

建立一个直角坐标系，横轴为 $b$ 轴，纵轴为 $k$ 轴

这平面上一个点对应 $xoy$ 平面上的一条直线，

这个平面上一条直线对应 $xoy$ 平面上一条定点直线系（即过一定点的所有直线组成的集合）

特别的，有 $b-k$ 平面上一条水平直线对应了一个平行直线系（即斜率相等的所有直线组成的集合）

则 $b^2-k^2\le1$
表示 $b-k$ 平面（参数平面）上的一个被双曲线包围的区域,如下图红色曲线中间区域所示

2020-04-14_140002.png

弦长大于三角形边长的情况

以下简称 ”弦长大于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ “ 为 “弦长条件”

当直线与圆心的距离小于 $\frac{1}{2}$ 的时候，满足弦长条件

即
$d=\frac{|b|}{\sqrt{k^2+1}}\le\frac{1}{2}$

两边同时平方，经过移项整理即可得 $4b^2-k^2\le1$

同样表示一个被双曲线包围的区域,如下图绿色曲线中间区域所示

2020-05-13_132751.png

matlab 绘图代码
fimplicit(@(x,y) x.^2 - y.^2 - 1,'r')
hold on
fimplicit(@(x,y) x.^2 - y.^2/4 - 1/4,'g')
grid on
hold off

概率的计算

由于对称性，仅考虑第一象限内的情况

则

$P(A) = \frac{\int_{0}^{\infty}\frac{1}{2}\sqrt{1+k^2}}{\int_{0}^{\infty}\sqrt{1+k^2}}=\frac {1}{2}\lim_{x \to +\infty}\frac{\int_{0}^{x}\sqrt{1+k^2}}{\int_{0}^{x}\sqrt{1+k^2}} = \frac {1}{2}$

上述过程有一个小瑕疵，就是直线方程不能表示斜率不存在的直线，不影响最后的结果。

设在所有与圆相交的直线中，斜率不存在的直线满足弦长条件的概率为 $\varepsilon>0$

由实数的阿基米德性可知， $\exists N>0$ ,使得 $N\varepsilon>1$

斜率不是直线本身的属性，而是由坐标系”赋予“的。

那么可以任意旋转坐标系 $N$ 次，使得 $N$ 个平行直线系的斜率在每一个特定的坐标系下都不存在

又由这N个直线系满足弦长条件是互斥的，他们的和事件的概率为 $N\varepsilon>1$

与定义矛盾，所以 $\varepsilon = 0$ (但是仍然可能发生)

事实上，在平面内任取一条直线，其斜率不存在的概率为0
所以，无论是与圆相交的直线还是满足弦长条件的直线，在这两个直线系里面排除斜率不存在不会影响最终的结果。

使用直线的一般方程

另外一个思路就是可以用直线的一般方程来描述直线

即 $ax + by + c = 0$

类似的建立空间直角坐标系abc

那么直线与圆相交可表示为
$d=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\le1$
即
$c^2\le a^2+b^2$

直线满足弦长条件可表示为
$d=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\le\frac{1}{2}$
即
${c^2\le\frac{a^2+b^2}{4}}$
以上两个方程表示空间中一区域，其边界为圆锥面，如下图所示

2020-03-29_224632.png

橙色表示 $c^2\le a^2+b^2$ ，蓝色表示 ${c^2\le\frac{a^2+b^2}{4}}$ ，使用Solidworks绘制

2020-03-29_223901.png

空间中区域剖面，此图形关于 $aob$ 平面对称，可以想象为一个圆柱去掉一个圆锥的剩余部分

由两个曲面方程
$\left\{ \begin{aligned} a^2_1+b^2_1=c^2_2,\\ a^2_2+b^2_2=4c^2_2. \end{aligned} \right.$

当 $a^2_1+b^2_1=a^2_2+b^2_2 = \lambda$ 时，有 $2c_2=c_1$
即当底面积一定时， $H_橙=2H_蓝$

又由体积公式 $V=\frac{2}{3}SH$ (圆柱体积减去圆锥体积)

得 $V_橙=2V_蓝$

对 $\lambda$ 取极限到正无穷，一样可以得到 $P(A)= \frac{1}{2}$ 的结果

但是直线一般方程有一隐含条件，即a与b不能同时为0，

也就是说c轴上的点不能对应一条直线

二、概率为 $\frac{1}{3}$ 的情况

任选圆周上一点，过此点做切线。

取切点做原点，切线为极轴，正方向取为圆在切线左侧时的方向。

此时圆的极坐标方程可写为 $\rho=2sin(\theta)$

2020-04-14_142033.png

matlab 绘图代码
theta = linspace(0,pi);
rho = 2*sin(theta);
polarplot(theta,rho)

当 $\rho\ge\sqrt{3}$ 时， $\frac{2\pi}{3}\le\theta\le\frac{\pi}{3}$

则 $P(A)=\frac{1}{3}$

三、概率为 $\frac{1}{4}$ 的情况

任取一条弦，其方程为 $y =kx+b$ （斜率存在）

圆与直线有两个交点 $（x_1,y_1）（x_2,y_2）$ ,交点同时满足圆方程

$\left\{ \begin{aligned} x^2_1+y^2_1=1&&(1)\\ x^2_2+y^2_2=1&&(2) \end{aligned} \right.$

使用点差法，将（1）式减（2）式，得
$(x_1+x_2)(x_1-x_2)+(y_1+y_2)(y_1-y_2)=0$

移项得
$\frac{(x_1+x_2)}{2}+\frac{(y_1+y_2)}{2}\frac{(y_1-y_2)}{(x_1-x_2)}=0$

设中点坐标为 $（x_0,y_0）$ 则
$x_0+ky_0=0$
联立直线方程，解得
$\left\{ \begin{aligned} x_0=-\frac{b}{2k}&&\\ y_0=\frac{b}{2}&& \end{aligned} \right.$
距离圆心的距离可表示为
$d=\sqrt{\frac{b^2+b^2k^2}{4k^2}}$

如果 $d\le1$ ,则直线与圆相交

对不等式两边同时平方可得

$\frac{b^2}{4k^2}+\frac{b^2}{4}\le1$

做变量替换

$\left\{ \begin{aligned} m=-\frac{b}{2k}&&\\ n=\frac{b}{2}&& \end{aligned} \right.$

方程化为
$m^2+n^2\le1$

若 $d\le\frac{1}{2}$ ,则满足弦长条件

同样对不等式两边同时平方可得

$\frac{b^2}{4k^2}+\frac{b^2}{4}\le\frac{1}{4}$

做变量替换

$\left\{ \begin{aligned} m=-\frac{b}{2k}&&\\ n=\frac{b}{2}&& \end{aligned} \right.$

方程化为
$m^2+n^2\le\frac{1}{4}$

则 $P(A)$ 为两圆面积之比，即为 $\frac{1}{4}$

四、小结

三种解法用解析几何的语言重新描述了一遍，答案的不同本质上是对直线均匀的刻画不同。第一种是直线到圆心的距离是均匀的，第二种是夹角是均匀的，第三种是中点到圆心的距离是均匀的。从表达式中可以看出，三种方法的参数之间存在函数关系，并且是非线性。例如， $tan(\theta)=k$ .如果适当选取参数的函数，并赋予其意义，或许可得许多不同于以上三种的答案。限于本人水平有限，文章之中多有谬误，还望不吝赐教。

最后编辑于：2020.05.13 13:29:51

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