矩阵的初等变换

对于如下矩阵：
矩阵

我们可以对它做这么几种操作：

  1. 交换任意两行：比如交换前两行得到
    交换前两行

  2. 用非0常数乘某一行全部元素：比如第三行乘以2得
    末行乘2

  3. 某一行加上另一行的k倍：我们使用上面2倍的结果，将其加到第一行得
    第一行加第三行

以上三种操作统称矩阵的“初等行变换”：

  1. 对调两行（第i行和第j行），记作

    2.以非零常数 k 乘某一行（第i行）的所有元素，记作
    3.某一行加上另一行的 k 倍，记作

其逆变换如下：

继续对调这两行
这一行的元素除回去
这一行减去那一行的k倍

如果这些操作针对的对象是矩阵的列，就称为“初等列变换”。
进行了有限次初等变换的矩阵，和原来的矩阵等价。如果指进行了行变换，则称为“行等价”；只进行了列变换，称为“列等价”。
由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

“左行右列”定则

对一个一般矩阵执行一次初等变换，等价于用一个被执行过同样初等变换的初等矩阵同这个矩阵相乘。

设A是一个 m×n 矩阵，

  • 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；
  • 对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.

比如对调变换，我们来看一下：
对调两行相当于用初等矩阵去乘原矩阵；对调两列相当于用原矩阵去乘初等矩阵


原矩阵
初等矩阵：交换23两行
也是交换23两行，不过这里看成交换两列

对调行

对调列

对于其他初等变换，同样遵循左行右列定则。可以自行验证。

“逆矩阵”的求法

对n×2n阶矩阵(A|E)实施初等行变换，当把A变成E时，E变成A的逆矩阵：

逆矩阵求法

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