最近重温了一些关于动态力学的基础概念，对于自己来说比较烧脑。当理论用的多时，经验变得重要；当经验用的多时，理论变得重要。

关键词：线性运动与旋转运动二者的不同和公式上的相似、简单转动分析中的转动惯量、转动与线性运动公式的相似性（公式、守恒律）、复杂转动分析中出现的惯性矩阵（张量）、惯性矩、惯性积

如果已研究动力学或对涉及旋转运动的任何事物建模，就会遇到惯性矩的概念。最常用的方程是T =Iα的形式，该方程描述为作用在物体上的转矩T等于物体角加速度α乘以其惯性矩I。可以这样快速理解，其和线性运动的方程F =mα的结构类似，但是因为转动存在位置因素从而二者量纲不同。

这种转矩和角加速度围绕单个轴起作用，而此惯性矩指的是围绕单一轴的惯性矩。

惯性矩（转动惯量Moment of inertia）从本质上描述了对象的质量对施加转矩的旋转运动的抵抗，它是质量属性的一种旋转模拟。但如前所说，仅仅使用单一的转动惯量值只是旋转运动中的简化情况。如果要处理三维空间的旋转运动，就需要用到惯性张量或惯性矩阵的概念，其中包含了物体三轴坐标系（如笛卡尔坐标系）所对应的惯性矩（Moment of inertia）和惯性积(Products of inertia)，前提是确定好坐标系的位置。

这里将推导惯性张量中的惯性矩和惯性积来自何处，试图从中获得直觉。因为对这些物理概念除了死记硬背外，具有直觉的理解也很重要。

需要的知识储备前提：需要了解微积分、向量和矩阵运算（如叉乘和矩阵乘法），行列式运算。公式的推导中有很多值为向量值（具备方向属性，因此用箭头上标标出），只有质量和确定好了坐标方位的值为标量。尝试过绕开数学去理解，但是越绕越乱。。。这部分真的是不能指望绕过公式运算通过通俗理解的。

关于下面的公式的定义和推导过程，是通用的理论知识和定理的罗列，是从网上和书上获悉的通用写法和表达。碍于本人数学能力有限，公式的解释比较啰嗦。。。

接下来是大致的推导过程

基础是牛顿第二定律，力等于质量乘以加速度：

因为加速度是速度的变化率，所以此定律可以变为另一个形式：

由于线动量（linear momentum。动量的英文用momenta的也比较多，但是因为缩写后和质量mass相同，所以用拉丁语的p表示)的定义是

，因此作用在质点上的力等于其线动量的微分（变化率）：

然后从质点系向刚体上衍生，作用在整个系统上的力等于刚体内所有质点动量微分的总和：

与线性运动不同的是，旋转运动需要加入力矩Torque的概念，通俗理解的力矩为力乘以距离，严格意义来说是位置矢量与力矢量的叉积（在公式中的“X”符号指的是叉积，不是数值上的乘法。同时要注意矢量叉积的前后顺序是位置矢量在前力矢量在后，否则会产生方向的错误）。作用在刚体的总力矩等于刚体所有质点的位置矢量和其动量微分矢量的叉积（向量叉积）的总和

该方程的右侧是角动量（angular momentum）的微分，因此力矩等于角动量的微分（类比线性运动：力是线动量的微分）

角动量公式为：

因为线速度和角速度的公式为

因此角动量公式进一步为

注意由于是分析刚体的运动，刚体所有质点的角速度相同（这是刚体的本质属性），因此角速度没有下标。

下一步需要计算上述公式中的叉积结果。

由于力、速度和位置都是向量，先将位置和速度的向量用笛卡尔坐标系表示为

其中i，j，k为三个坐标轴的单位向量。

然后根据叉乘运算用笛卡尔坐标行列式表达我们得到

对行列式进行数学运算推导出

将距离值再次与该向量结果进行叉乘，得出

其结果可以用矩阵和向量的乘法简化表示为

从而刚体质点系的角动量总和的公式推导为

=

进一步的，由于刚体的质点实际是连续的，将离散的求和替代为连续的积分可得到

此公式等号右侧靠左的矩阵就是刚体的惯性矩阵，或者叫惯性张量。矩阵的对角线元素称为“惯性矩”也就是转动惯量。 为了方便起见，惯性矩缩写为：

矩阵的非对角线元素称为“惯性积”。 尽管有六个非对角元素，但只有三个不同的惯性积。 这是因为矩阵是对称的，惯性积缩写为：

使用缩写定义重写惯性张量（惯性矩阵）I可得到：

进而简化角动量的公式得到：

转矩是角动量的微分，所以可继续推导

转矩向量可用笛卡尔坐标系的矢量表示为：

为角加速度，其也是三维向量，用笛卡尔坐标表示为

由此可以直接看到力矩在三个坐标轴分量上的公式，如x轴：

惯性矩阵上对角线的“惯性矩”可以理解为当在某一轴线上施加扭矩时，对象会如何围绕这个轴线旋转，例如如果绕x轴线施加扭矩，则告诉我们这会如何产生刚体绕x轴线的角加速度(成为广义的转动惯量概念)。由于物体的质量分布原因，惯性矩阵上非对角线的“惯性积”出现，理解为在围绕某一轴施加扭矩时，刚体会如何围绕另一轴来旋转，例如惯性积告诉我们施加在x轴上的转矩如何使刚体产生出围绕y轴的角加速度。 类似地，告诉我们施加在x轴的转矩如何使刚体产生围绕z轴的角加速度。

总结的说，不论惯性矩或惯性积， （其中的i可以是x，y或z，j可以是x，y或z）告诉我们施加到轴i的转矩如何影响围绕轴j的角加速度。

惯性矩和惯性积的值完全取决于对象刚体相对于旋转轴的质量分布，因此，如果刚体的质量分布发生改变，或对象的xyz轴旋转坐标系发生改变时，惯性矩阵也会改变。 对于任何物体都可以找到一组质量分布关于每个轴都对称的坐标系。 其被称为“主坐标系”，也就是质心坐标系。当使用该坐标系计算刚体的惯性张量中的元素时，惯性积全部等于零：

大多数问题的分析都是这种惯性积为零的情况，因为通常要处理那些绕着穿过重心且对象对称的轴的旋转。 然而，当偏离这种情况时，如坐标系产生偏离，或具有多刚体的约束运动整合分析时，整体的惯性张量特别是惯性积的知识也会变得很重要。例如处理在路面上滚动的车轮，除了车轮围绕中心旋转外，还有车轮绕接地点的地平线倾斜的情况，以及车轮转向时车轮的摆动轴线倾斜且偏离车轮质心的情况，这都让旋转轴心不再处于车轮质心（中心），此时除了惯性矩外就用上惯性积以至于整个惯性张量来分析。当系统的质量分布不均匀时，或者系统中有多个刚体存在复杂的动态关联时，完整的惯性矩阵就非常必要。其中的转换和运算可以依据质心坐标系的惯性矩阵通过平行轴定理、垂直轴定理以及坐标系的旋转矩阵运算得出（平行轴定理、垂直轴定理以及坐标系旋转变换矩阵非常重要，这里不延伸，先自行百度）。

惯性矩阵是动态分析的物理基础部分，在动力学方程中质量矩阵是分析转动中关键的部分，比如与陀螺有关的分析理论（例如角动量守恒、进动、章动等）。从机电角度例如电机的力矩会产生怎样的加速旋转（例如能产生多少角加速度等、可能会出现的振动等）肯定离不开惯性矩阵的分析。从传感器角度例如运动物体中的IMU单元（它的全称就是惯性测量单元，英文Inertial measurement unit）应用来说，如何通过测量结果去分析物体的运动和外力状态这部分的理论自然也是极其关键的，怎么对数据进行处理的算法离不开基础理论（不然根本不能建立Matlab的模型）。CAE中的动态分析和有限元分析FEA部分也是以动力学方程作为基础。对轮动的车辆来说，比如在前进和操控过程中发生的侧倾（通常用章动角描述）、车身摆动（通常用进动角描述）、以及一些避震悬架的运动等，不同的速度下轮组发动机的陀螺效应会有怎样的影响等，这些要素在车辆的行驶状态中复杂耦合的两轮车（自行车、摩托车）来说分析稳定和操控性能比较重要，比如在Majaad、Shwalb和Sharp关于自行车和摩托车的经典动态稳定性能的一些理论分析的各种公式中，惯性矩阵就占了很大的比重。至于汽车、航天的应用更多了。虽然运动的载体和对象高低有别，有简有繁，但是无论哪种载体，在相对论还远远用不上的速度范畴中，量子力学还远远用不上的体积范畴中，它们的动态的本质都离不开牛顿力学这种自然哲学的数学原理，以及来自欧拉、拉格朗日、哈密顿的贡献。回到文章的一开头的话，当理论有一定积累的时候，会发现越来越需要经验。当经验积累的越来越多时，理论的需求其实也越来越重要。重要的是让二者一起提升，而不是只重一派，自恃一边不去探知另一边。

2020-12-4