先说结论，本章重要知识点：

对当方阵（The Square of Opposition）

传统逻辑（亚里士多德逻辑）中基本命题的关系

对当方阵

• 矛盾关系（Contradictories）：一个命题是另一个的拒斥（denial）或否定（negation），既不同真也不同假。主项、谓项相同，质量、都不同。
• 反对关系（Contraries）：两个命题不能同真，但可以同假。
• 差等关系（Subalternation）：两个命题主项和谓项相同，质相同量不同。上位蕴含（imply）下位。即上位为真，下位必为真；下位为假，上位必为假。其他情况则无法推断。
• 下反对关系（Subcontraries）：两个命题不能同假，但可以同真。

注意两个条件
1）必须符合存在假设，即预设所涉及的类不为空
2）考虑反对关系和下反对关系时，命题必须是偶真的（contingent）
不能是必然真（或必然假）的，否则就不可能同假（真）。
必然为真（假）指逻辑和数学上为真（假），例如所有三角形是三边形、有正方形是圆。

直接推论

其他直接推论

换位换质换质位

换位法和换质法，带入例子就可以理解。换质位法是前两者的运算。以换质位法第一条 A 到 A 为例。先从换质法的 A 到 E，再从换位法的 E 到 E，再从换质法的 E 到 A 推出。

上表左边的命题蕴含（imply）右边命题。即左边为真，右边必为真；右边为假，左边必为假。其他情况则无法推断。

布尔解释（Boolean Interpretations）

传统逻辑的存在假设有诸多问题，乔治·布尔（George Boole）发展了现代逻辑学，提出了布尔解释。

布尔解释核心是说：

• I、O 命题依然有存在含义，A、E 命题没有存在含义
• 对当方阵的矛盾关系成立，周边关系消失（差等关系部分消失）

在实际应用中，如果主项不为空，可看对当方阵，如果为空，看布尔解释。

文恩图（Venn Diagram）

英国数学家、逻辑学家约翰·文恩（John Venn,1834-1923）最早使用的图示法，用来表达标准直言命题。

文恩图

文恩图解三段论

斜线表示为空，x 表示存在，其中至少有一个元素。
文恩图对于后续的直言三段论有重要作用。

基础概念

直言命题（categorical proposition）

亚里士多德传统逻辑讨论的都是直言命题。直言命题是探讨类（classes）或分类（categories），声明（affirming）或否定（denying）某个类全部或部分包含在另一个类中。（直译为“分类命题”不好么！！！）

标准直言命题（standard-form categorical proposition）

AEIO 是标准直言命题。
A：所有 S 是 P
E：没有 S 是 P
I：有 S 是 P
O：有 S 不是 P

直接推论和间接推论

直接推论：从一个前提推论
间接推论：从至少两个前提推论

标准直言命题的组成

量项主项联项谓项

在第一篇里我说过，演绎部分的概念层层递进至少是树形结构10层，这篇开始数给你们看。

一个标准直言命题的组成是：量项（quantifier）+主项（subject term）+联项（copula）+谓项（predicate term）

量项：所有、没有、有些；联项：是、否

标准直言命题的组成，这是第 1 层。

质量周延

根据功能，还有质（Quality）、量（Quantity）、周延（Distribution）的概念。

质：肯定（affirmative）还是否定（negative ）
量：全称（universal）还是特称（particular ）

周延需要好好解释一下。
周延指的是一种描述命题与其内的项（terms，也就是主项或谓项）的关系的一种特质。当命题提及该项所指的类的每一个成员（member），我们就说该项是周延的。（周延这个翻译实在无力吐槽，直译成“分布”不好么！！！）

A 命题：所有参议员是公民。命题论述了所有参议员，并没有论述所有公民是怎样。所以A 命题主项周延，谓项不周延。

E 命题：没有运动员是素食主义者。命题论述了所有运动员，这个类排除在素质主义者这个类之外。同时也论述了素食主义者这个类排除在运动员这个类之外。所以E 命题主项、谓项周延。

I 命题：有些士兵是胆小鬼。I 命题主项、谓项不周延。

O 命题：有些士兵不是胆小鬼。胆小鬼被排除在特定的“有些士兵”这个类之外。胆小鬼的每个成员都不能在这群“有些士兵”中被找到。当一个类被排除在一个类之外，我们就说这个类的每个成员都被提及了。O 命题主项不周延、谓项周延。（这里我不太理解）

周延

按特征分类，这是第 2 层，有了第 2 层，就可以玩换位、换质这种游戏。而换质位是在换质、换位基础上运算，是为第 3 层。

存在问题（existential import）

I、O 命题有存在含义。有些士兵是胆小鬼，必然存在至少一个士兵，他是胆小鬼。有些士兵不是胆小鬼。必然存在至少一个士兵，他不是胆小鬼。

在传统逻辑中，I、O 命题是从 A、E 命题推断而来，那么 A、E 命题也须有存在含义。但是当全称命题（比如 A 命题）的主项不存在即为空时，会出现 A、O 同假，那么矛盾关系不存在。

比如，所有火星人都是金发的。有些火星人不是金发的。当火星人不存在时，这两个命题同假。

为了挽救传统逻辑方阵，预设所有直言命题涉及的类都不为空。

但是这种预设是有问题的。首先，它不能论述为空的类。其次，科学研究中的理论经常涉及为空的类。因此逻辑学家布尔发展了现代逻辑（mordern logic），提出了布尔解释。

布尔解释

约翰·布尔（George Boole，1815-1864）。英国逻辑学家、数学家。现代符号逻辑奠基人之一。

布尔解释：

• I、O 命题依然有存在含义，A、E 命题没有存在含义。即当主项为空时，I、O 命题为假，A、E 命题可以为真。
• 对当方阵的矛盾关系成立，周边关系消失（差等关系部分消失）
• 差等关系不是普遍有效的（上位有主项为空时无法推出下位）
• E 命题和 I 命题的换位推理，A 命题和 O 命题的换质位推理，所有命题的换质推理有效。其他无效，比如限制换位、限制换质位。（限制指从全称命题换为特称命题）

当原命题为假，求某命题真假如何判断？

当无法直接推论时，看原命题的矛盾命题或试图从某命题推得原命题。

原命题为假时，其矛盾命题必为真。则可通过矛盾命题的差等关系及换质位大法去看和某命题的关系。（是否能推得某命题）

根据“上位蕴含（imply）下位。即上位为真，下位必为真；下位为假，上位必为假。”和换质位表“左边的命题蕴含（imply）右边命题。即左边为真，右边必为真；右边为假，左边必为假。”

原命题若是某命题的下位命题，则某命题为假。若某命题通过换质位大法如果能推得原命题，那由于原命题为假，可得某命题为假。