三角函数的图像与性质

考纲原文

（1）能画出 y=sin x，y =cos x，y = tan x 的图象，了解三角函数的周期性.

（2）理解正弦函数、余弦函数在区间 [0,2π] 上的性质（如单调性、 最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间 \left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right) 内的单调性.

（3）了解函数 y=Asin(\omega x+\varphi) 的 \color{red}{物理意义} ；能画出y=Asin(\omega x+\varphi)的图象，了解参数 A,\omega,\varphi 对函数图象变化的影响.

（4）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。

重点介绍： \color{red}{物理意义}。

【2019年高考全国三卷第12题】. 设函数 f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{5}\right)(\omega>0) ，已知 f(x) 在 [0,2 \pi] 有且仅有 5 个零点，下述四个结论:

(1). f(x) 在 (0,2 \pi) 有且仅有3个极大值点

(2). f(x) 在 (0,2 \pi) 有且仅有 2 个极小值点

(3). f(x) 在 \left(0, \frac{\pi}{10}\right) 单调递增

(4) . \omega 的取值范围是 \left[\frac{12}{5}, \frac{29}{10}\right)

其中所有正确结论的编号是:(  D  )

A. (1)(4)    B. (2)(3)    C. (1)(2)(3)    D. (1)(3)(4)

解：方法1：换元。

令 X=\omega x+\frac{\pi}{5},\quad \because x\in [0,2 \pi],\quad \therefore X\in [\frac{\pi}{5},2 \pi\omega+\frac{\pi}{5}]

f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{5}\right)=g(X)=sin(X)(\omega>0,X\in [\frac{\pi}{5},2 \pi\omega+\frac{\pi}{5}])

所以当 \because X=0 不在定义域内， \therefore X=\pi ,2\pi ,3\pi ,4\pi ,5\pi  时，分别对应前 1-5 个零点。

第 6 个零点对应 X=6\pi , \therefore X=6\pi  一定不在定义域内。所以有以下不等式成立：

5\pi \leq 2 \pi\omega+\frac{\pi}{5}<6\pi\Rightarrow \omega\in \left[\frac{12}{5}, \frac{29}{10}\right) ，所以 (4) 正确。

方法2：考纲要求的物理意义。

当 x=0 时 f(0)=sin(\frac{\pi}{5})>0,且f

所 f(x) 的函数图像大致为：


三角函数的物理意义为：X轴为时间，Y轴表示振幅， \omega 表角速度， T 表周期。

\omega =\frac{\theta 转过的角度}{t所用时间}=\frac{2\pi}{T}

当 x=0 表示的物理意义为时间为0时对应的 \theta = \frac{\pi}{5} ，当 \theta = \frac{\pi}{2} 时，对应的振幅应为1，

故从 \theta = \frac{\pi}{5}到\theta = \frac{\pi}{2} 这个运动过程中，所用的时间 =\frac{\theta 转过的角度}{\omega}=\frac{ \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}}{\omega}=\frac{3\pi}{10\omega}

故由图像可知以下不等式：

\begin{aligned}\dfrac{3 \pi }{10\omega }+\dfrac{9}{4}T\leq 2 \pi <\dfrac{3 \pi }{10\omega }+\dfrac{11}{4}T\Rightarrow \dfrac{48}{10\omega }\leq 2 <\dfrac{58}{10\omega }\Rightarrow \dfrac{12}{5}\leq \omega <\dfrac{29}{10}\end{aligned} 。

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