高中数列之目~裂项求和：2015年理数全国卷A题17

2015年理科数学全国卷一题17（12分）

$S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_n \gt 0, \; a_n^2 + 2 a_n = 4 S_n +3.$

（1）求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

（2）设 $b_n= \dfrac{1}{a_n a_{n+1}}$ ，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和。

【解答第1问】

依题意可知：

$a_n^2 + 2 a_n = 4 S_n +3$

$a_{n+1}^2 + 2 a_{n+1} = 4 S_{n+1} +3$

两式相减可得：
$(a_{n+1}+a_n)(a_{n+1}-a_n)+2(a_{n+1}-a_n)$
$=4(S_{n+1}-S_n)=4a_{n+1}$

移项后得：
$(a_{n+1}+a_n)(a_{n+1}-a_n)=2(a_{n+1}+a_n)$

$\because a_n \gt 0$ , $\therefore a_{n+1}-a_n=2$
表明 $\{a_n\}$ 是等差数列，公差 $d=2$

$a_1^2 + 2 a_1 = 4 S_1 +3 \Rightarrow (a_1-3)(a_1+1)=0$

$\because a_1 \gt 0$ , $\therefore a_1=3$

结论： $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=2n+1$

【解答第2问】

$b_n=\dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n+3})$

$b_1+b_2+b_3+\dots b_n$

$=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dots+\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n+3})$

$=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2n+3})$

数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为： $\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2(2n+3)}$

【提炼与提高】

$\boxed{S_{n+1}-S_n=a_{n+1} }$

这是一个非常简单的公式，用途却很广泛，务必在解题过程中多加留意。

第1问还有其他解法。例如，算出前3项的值后，猜出通项公式，再用数学归纳法加以证明，也是可以的。但速度要略慢一些。

第2问用到了『裂项求和』。这是数列求和过程中的常用方程，也是常用考点。想要了解更多，请看这篇：
高中数列之纲~常用方法：裂项求和

最后编辑于：2021.01.19 09:47:54

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