高中数列之目~裂项求和：2015年理数全国卷A题17

2015年理科数学全国卷一题17（12分）

S_n 为数列 \{a_n\} 的前 n 项和，已知 a_n \gt 0, \; a_n^2 + 2 a_n = 4 S_n +3.

（1）求 \{a_n\} 的通项公式；

（2）设 b_n= \dfrac{1}{a_n a_{n+1}}，求数列 \{b_n\} 的前 n 项和。

【解答第1问】

依题意可知：

a_n^2 + 2 a_n = 4 S_n +3

a_{n+1}^2 + 2 a_{n+1} = 4 S_{n+1} +3

两式相减可得：
(a_{n+1}+a_n)(a_{n+1}-a_n)+2(a_{n+1}-a_n)
=4(S_{n+1}-S_n)=4a_{n+1}

移项后得：
(a_{n+1}+a_n)(a_{n+1}-a_n)=2(a_{n+1}+a_n)

\because a_n \gt 0, \therefore a_{n+1}-a_n=2
表明 \{a_n\} 是等差数列，公差 d=2

a_1^2 + 2 a_1 = 4 S_1 +3 \Rightarrow (a_1-3)(a_1+1)=0

\because a_1 \gt 0, \therefore a_1=3

结论： \{a_n\} 的通项公式为：a_n=2n+1

【解答第2问】

b_n=\dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n+3})

b_1+b_2+b_3+\dots b_n

=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dots+\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n+3})

=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2n+3})

数列 \{b_n\} 的前 n 项和为：\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2(2n+3)}

【提炼与提高】

\boxed{S_{n+1}-S_n=a_{n+1} }

这是一个非常简单的公式，用途却很广泛，务必在解题过程中多加留意。

第1问还有其他解法。例如，算出前3项的值后，猜出通项公式，再用数学归纳法加以证明，也是可以的。但速度要略慢一些。

第2问用到了『裂项求和』。这是数列求和过程中的常用方程，也是常用考点。想要了解更多，请看这篇：
高中数列之纲~常用方法：裂项求和

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