第六讲 — 功

知识点

功的定义与作用
- $W=\int_{A}^{B} \vec{F} d \vec{r}=\int_{A}^{B} F(s) \cdot \cos \theta(s) ds $
恒力的功
变力的功
- 直接积分法
- 动能定理法
- 建模积分法
  - 1、指明一个元过程
  - 2、写出元功表达式，其中力F和角度 $\theta$ 都是位置的函数
  - 3、对元功进行定积分

例题

例1. 恒力与位移同向
某物体，收到沿着 $x$ 轴的恒力 $F=10$ 作用，并沿着 $x$ 轴正向移动了 $\Delta x=5$ 的位移，则该力做功为( ) // 不带单位则默认为国际单位！

解答： $W=F \cdot \Delta x =50 $

例2. 恒力与位移同向有固定夹角
某物体，收到沿着 $x$ 轴向上 $30^{\circ}$ 的恒力 $F=10$ 作用，并沿着 $x$ 轴正向移动了 $\Delta x=5$ 的位移，则该力做功为( )

解答： $W=F \cdot \Delta x \cos 30°=25 \sqrt{3}$

例3. 变力：大小不变，夹角 $\theta$ 随位移变化
某物体，收到大小恒定的力 $F=10$ 作用，且它与 $x$ 轴的夹角 $\theta(x)=x$ 。在该力作用下，物体从坐标原点沿着 $x$ 轴正向移动到 $x=1$ ，则该力做功为( )

解答：从x的位置 x+dx (微元过程)，

$dW=F \cdot \cos \theta_x dx$

$W=\int_{初态} ^{末态} F \cdot \cos \theta dx=\int_{0}^{1}10 \cos x dx=[10 \sin x]_{0}^{1} =10 \sin 1$

例4. 变力：方向不变，大小 $F$ 随位移变化
某质点在力 $\vec{F}=(4+2x)\ \vec{i}$ 的作用下沿 $x$ 轴作直线运动，在从 $x=0$ 移动到 $x=10$ 的过程中，力所做的功为( )

解答： $W=\int_{0}^{10} (4+2x)dx= 20$ // $\cos \theta =0$

例5. 变力：初末状态知道，用动能定理
质量为 $m$ 的质点在合外力 $\vec{F}=(4+2v)\ \vec{i}$ 的作用下沿 $x$ 轴作直线运动，在从 $v=0$ 移动到 $v=10$ 的过程中，合外力所做的功为( ).
//合外力做功都变成动能，则用动能定理

解答： $W=\intop_{0}^{10}(4+2v)dv=140$ ? //Wrong

$W=\frac{1}{2} m v_{1}^2-\frac{1}{2}m v_0^2 =50m$

作业
变力做功的常用方法：动能定理。质量为 $m=2$ 的质点，在 $Oxy$ 坐标平面内运动，其运动方程为 $x=5t$ ， $y=t^{2}$ ，从 $t=2$ 到 $t=4$ 这段时间内，外力对质点作的功为().

解答：由题易得：该质点仅在y轴受力，且加速度为 $a=2$

故， $W_外=\frac{1}{2}mv_末^2-\frac{1}{2}mv_初^2=\frac{1}{2}m[v_x^{2}+v_y^{`2}-(v_x^2+v_y^2)]= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (8^2-4^2) =48$
//动能定理

作业
变力做功的常用方法：动能定理。质量 $m=1$ 的质点在力 $F=2t\ \vec{i}$ 的作用下，从静止出发沿 $x$ 轴正向作直线运动，则前3秒内该力所作的功为()。

解答：由冲量定理得： $\int_{0}^{3} 2t dt=1 \cdot v_1$

易得 $v_1=9$

又游动能定理得：

$W=\frac{1}{2}mv_1^2-0$

$W=\frac{81}{2}$

// 动能定理+冲量定理

作业
质量 $m=2$ 的物体沿 $x$ 轴作直线运动，所受合外力 $F=1+2x$ 。如果在 $x=0$ 处时速度 $v_{0}=\sqrt{5}$ ；求该物体运动到 $x=4$ 处时速度的大小( )。

解答： $W_F=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2} mv_0^2$

$\int_{0}^{4} (1+2x) dx=\frac{1}{2} \cdot 2(v_1^2-5)$

$v_1= 5$

例6. 建模积分法 !!!
一人从深度为 $H$ 的井中提水，起始时桶中装有质量为 $M$ 的水，桶的质量为 $M_{0}$ kg，由于水桶漏水，每升高 $1$ 米要漏去质量为 $a$ 的水。求水桶匀速缓慢地从井中提到井口人所作的功。
以井底为原点，向上为正方向建立 $x$ 轴。
第一步，关于积分微小过程的描述有
(1) 当水桶位于 $x$ 位置时
(2) 当水桶从 $x$ 位置上升到 $x+dx$ 的过程中。
第二步，元功 $F(x)dx$ 应表达为
(3) $(M_{0}+M-xa)gdx$
(4) $(M_{0}+M+xa)dx$
第三步，定积分的写法为
(5) $\intop_{0}^{H}F(x)dx$
(6) $\intop_{M}^{0}F(x)dx$
以上正确的是( )