萌萌的讲解
以下为部分摘取
最大二分匹配：在一个二分图中找到P->q的一个匹配方案，使得匹配中的边数量不小于任何其他的匹配。
完备二分匹配：在一个二分图中找到p->q的一个匹配方案，使得p中所有点出现在该匹配中。
二分图的带权匹配：求出一个匹配集合，使得集合中边的权值之和最大或最小。
二分图的最优匹配：为完备匹配，在此基础上，才要求匹配的边权值之和最大或最小。二分图的带权匹配与最优匹配不等价，也不互相包含。
KM算法实现求二分图的最优匹配。KM算法可以实现为O(N^3)。
[KM算法的几种转化]
- KM算法是求最大权完备匹配，如果要求最小权完备匹配怎么办？方法很简单，只需将所有的边权值取其相反数，求最大权完备匹配，匹配的值再取相反数即可。
- KM算法的运行要求是必须存在一个完备匹配，如果求一个最大权匹配(不一定完备)该如何办？依然很简单，把不存在的边权值赋为0。
- KM算法求得的最大权匹配是边权值和最大，如果我想要边权之积最大，又怎样转化？还是不难办到，每条边权取自然对数，然后求最大和权匹配，求得的结果a再算出e^a就是最大积匹配。至于精度问题则没有更好的办法了。
KM算法的邻接矩阵模板:
const int MAXN = 210;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int love[MAXN][MAXN]; // 记录每个妹子和每个男生的好感度
int ex_girl[MAXN]; // 每个妹子的期望值
int ex_boy[MAXN]; // 每个男生的期望值
bool vis_girl[MAXN]; // 记录每一轮匹配匹配过的女生
bool vis_boy[MAXN]; // 记录每一轮匹配匹配过的男生
int match[MAXN]; // 记录每个男生匹配到的妹子 如果没有则为-1
int slack[MAXN]; // 记录每个汉子如果能被妹子倾心最少还需要多少期望值
int n,m;
bool dfs(int girl)
{
vis_girl[girl] = true;
for (int boy = 0; boy < m; ++boy) {
if (vis_boy[boy]) continue; // 每一轮匹配 每个男生只尝试一次
int gap = ex_girl[girl] + ex_boy[boy] - love[girl][boy];
if (gap == 0) { // 如果符合要求
vis_boy[boy] = true;
if (match[boy] == -1 || dfs( match[boy] )) { // 找到一个没有匹配的男生 或者该男生的妹子可以找到其他人
match[boy] = girl;
return true;
}
} else {
slack[boy] = min(slack[boy], gap); // slack 可以理解为该男生要得到女生的倾心 还需多少期望值 取最小值 备胎的样子【捂脸
}
}
return false;
}
int KM()
{
memset(match, -1, sizeof match); // 初始每个男生都没有匹配的女生
memset(ex_boy, 0, sizeof ex_boy); // 初始每个男生的期望值为0
// 每个女生的初始期望值是与她相连的男生最大的好感度
for (int i = 0; i < n; ++i) {
ex_girl[i] = love[i][0];
for (int j = 1; j < m; ++j) {
ex_girl[i] = max(ex_girl[i], love[i][j]);
}
}
// 尝试为每一个女生解决归宿问题
for (int i = 0; i < n; ++i) {
fill(slack, slack + m, INF); // 因为要取最小值 初始化为无穷大
while (1) {
// 为每个女生解决归宿问题的方法是 ：如果找不到就降低期望值，直到找到为止
// 记录每轮匹配中男生女生是否被尝试匹配过
memset(vis_girl, false, sizeof vis_girl);
memset(vis_boy, false, sizeof vis_boy);
if (dfs(i)) break; // 找到归宿 退出
// 如果不能找到 就降低期望值
// 最小可降低的期望值
int d = INF;
for (int j = 0; j < m; ++j)
if (!vis_boy[j]) d = min(d, slack[j]);
if(d==INF) return -1; //无法松弛,找不到完备匹配
for (int j = 0; j < n; ++j) {
// 所有访问过的女生降低期望值
if (vis_girl[j]) ex_girl[j] -= d;
}
for (int j = 0; j < m; ++j) {
// 所有访问过的男生增加期望值
if (vis_boy[j]) ex_boy[j] += d;
// 没有访问过的boy 因为girl们的期望值降低，距离得到女生倾心又进了一步！
else slack[j] -= d;
}
}
}
// 防止匹配到不存在的边
int res = 0,flag=0;
for(int i = 0; i < m; i++){
if(match[i]==-1||love[match[i]][i]==-INF)
continue;
res += love[match[i]][i];
flag++;
}
if(flag<n) res=-1;
return res;
}
