复微分
image.png
image.png
开圆盘，开圆盘的闭包，去心圆盘
不连通，呈现一种闭隔离性，取集合的补运算可谓是一种硬边界构造手法。开集取补后就是闭集，出现了边界。点取补后，是有洞开集，点就是边界。所以不连通也是一种硬隔离，可以找到边界。
闭不连通，则是不交闭集的并，这个不交可以理解为分离性，存在这样的开集分隔这两个闭集。所以这里包含了对拓扑空间的约束。
最大连通子集，使用极值构造方式建立，这样的构造方式很常见，比如佐恩公理中，最大全序链。在拓扑学中更是经常用，开集的构造，就是包含了每个点的开邻域的最小集合。
连通分支的概念很关键，因为连通开集就是区域，这样的区域就是解析函数的舞台，不过还需要把洞排除掉，才能获得积分随路径不变性。
image.png
image.png
函数于一点的导数，全纯，解析，开集内全纯的函数类
image.png
线性算子的术语表述可微，具体来看的话意味着函数的差值同自变量差值近似保持线性关系。这是一种逼近近似，还有一种无穷近似，称为渐进表达式，区别不大。反函数变换，就把零映射到了无穷。
image.png
解析函数环是通过微分运算性质建立的，比较解析就是处处有导数。这个观点以前没注意到。
微分运算的性质包括线性，乘积，链式法则。于是，函数的加，乘，数乘，复合都封闭。
image.png
幂函数全纯，多项式函数全纯，反函数在零以外全纯，直接通过定义求导就得到了，毕竟是代数函数。然后是作者喜欢使用的，利用复合运算的封闭性证明运算的封闭性。
整函数，全平面全纯。指数函数也是全纯的。
image.png
暴力计算指数加法公式，双重求和变嵌套求和也是常见的技巧。中间利用了二项式定理，非常巧妙。自己算的话，很容易卡住。因为是纯代数的论证，所以对复数也有效。
image.png
一些定理，其实就是复指数函数的性质，在实轴上的截面就是指数函数，复指数函数是周期函数，其实是条带，沿虚轴分布。虚指数与旋转的对应。复指数可取任意非零复数。因为-1=e{iπ}，所以任意负数都是可取到的。i=e{iπ/2}，所以任意虚数可以取到。当角度非特殊值时，可取任意非零复数。
image.png
这个积分好像是反正切，这个方法进行了参数变换，获得单调映射，正好抵消，答案显然。
image.png
幂级数，在收敛半径中，闭绝对一致收敛。根式判别法，这个是一般版本，sup代表了系数绝对值最大的那一项，而不单单是n大的项。
函数在开集中可表幂级数，要求逐点收敛，这个要求低了，与绝对一直收敛有差距，说明空间或者函数具有特殊性质。
image.png
image.png
函数可表幂级数，则函数解析，且导数可表幂级数。同解析和可表幂级数等价相比差了一半。
image.png
证明是证幂级数逐项求导就是导数。
image.png
定理递推可以获得强结论，解析函数的任意阶导数可表幂级数。
image.png
image.png
复测度，复可测函数，可表幂级数。
这里面复测度取代了复数结构，通过积分表示了幂级数的系数，非常巧妙，看起来形式复杂，但是啥也没算，唯一关键的部分就是反函数的几何级数展开。
注里面的不等式很有用，刻画了解析函数的导数。毕竟泰勒公式说明幂级数系数就是导数。
