第一章：统一性（之二）

拉里·L·齐默曼于2015年9月9日 发表

不顾他们关于数学的本质的假定，罗素和他的同胞，正如我将要展示的，谈论和研究数学好像这“无”又是某些东西，至少是一种数学家按照他们的喜好所创造的艺术形式。从“数学如同艺术”的视角来说，有两个问题对数学家来说，在历史上都发现难以回答，而且他们当代的同事也在为之奋斗。

首先，为什么有那么多统一的原理，比如集合、函数和向量，交织在那些起初看上去是不同的概念里，且这些概念是由不同的人在不同的时代、不同的地区独立地发明的？如此的统一被很好地建立了。詹姆斯·J·西尔维斯特说，曾经有一个时候，学科的各个部分被割裂了，代数、几何和算术或者各自分开，或者保持只限于偶尔彼此拜访的冷淡的相识关系，但......现在愉快地结束了。他们正不断地变得越来越亲密，且被一千个新的关系所连接。我们或许可以自信地盼望一个时间，那时他们将构成一个身体且拥有一个灵魂。（11）

雷蒙德·L·怀尔德（Raymond L. Wilder ）谈论“伟大的普遍性......内在于形式化的数学系统里。”他接着说数学的演变“将要迫使一种方法的发展，这种方法能够将不明确的项（terms）和像类（group）与抽象空间这些出现在表面看起来不相干的数学分支中的基本说明概念包围在单一的框架中。”（12）

表明统一最后会统治即便混乱是可预期的时候，比如在大胆的数学革新之后，赫伯特·韦斯特伦·特恩布尔（Herbert Westren Turnbull）说，“这些趋势是值得注意的，当纯数学的四个伟大分支中的每一个都在走向普遍化时，这些分支失去了一些他们与众不同的品质，且变得越来越像。”（13）

克莱因给出了关于数学领域的内在一致性的进一步的证据，他声明，“为了解决某一领域的一个问题而被发展出来的一个定理常常变成了一个完全不同领域中的关键点，这一事实让数学史中充满了惊喜。”（14）埃里克·坦普尔·贝尔（Eric Temple Bell）讲述了那种熟悉的方式，利奥波特·克罗内克（Leopold Kronecker ）将他最感兴趣的三股线——数的理论，方程式理论和椭圆函数——编织在了一个美丽的模式里，在其中，随着这个构想的发展，意料之外的匀称被揭露，并且在其他遥远的地方还有很多细节被意外地想象到了。与他合作的那些工具，似乎每一个都是为了其他地方的更有效率的功能而被命运设计的。不满足于接受这不可思议的统一仅仅作为一种神秘，克罗克内探求并在卡尔·弗里德里希·高斯（Karl Friedrich Gauss）的二元二次方程式理论中发现了它潜在的结构。（15）

然而克罗内克，他可能是一个基督徒，仅仅承认“上帝创造了整数，其他的一切都是人的工作。”（16）温斯顿·丘吉尔曾这样描述他的政敌斯坦利·鲍尔温（Stanley Baldwin），“偶尔他被真理绊倒，但是他匆忙地爬起来仿佛什么事都没有发生一样。”（17）克罗内克的哲学尝试可以作为这种情况的一种典型，而且他并不是唯一一个这样的数学家。

使用这类词汇像“非凡的”，“惊讶的”，“未预见到的”，“意想不到的”，和“不可思议的”，克莱因和贝尔都心照不宣地承认数学的统一性从他们假定数学家发明了数学的设想中剪去了针脚。甚至数学家们“强迫”不统一的尝试也被数学的完全统一的特性给拒绝了。例如，有这种好奇的悖论（curious paradox）“.....我们越接近一个绝对模式的序列，我们就越接近这样一种模式，它如此罕见以至于突然产生这样一个序列时，我们会怀疑它是由一个数学家精心构造而不是由一个随机过程产生的。”（18）肯定的是数学是有人设计的一种存在（entity），并且它的一部分被数学家发现了。常常，他们那时就成了判断他们的发现的意义的最差劲的法官。

由亚瑟·凯利（Arthur Cayley）和詹姆斯·J·西尔维斯特（James J. Sylvester）所发展的代数不变量理论是最一个很好的例子。

......这个想法最早的例子出现在约瑟夫-路易斯·拉格朗斯（[Joseph-Louis] Lagrange）的作品中，它逐渐变成了高斯（Gauss）的算术作品。但是，这两个人都没有注意到，在他们面前的简单而非凡的代数现象是一个巨大理论的萌芽。当乔治·布尔（George Boole）继续并极大地拓展了拉格朗日的工作时，他似乎也没有完全意识到他所发现的。（19）

如果有任何人们期待惊奇最终已被清除掉的主题，那就是已经显著了数百年的三角形和圆的初等几何。即使在19世纪也依然如此。然而，那个世纪，“见证了这项研究的惊人的重新开始。看来好像这一领域的调查肯定是无限量的。”（20）

菲利普E.B.乔丹恩（Philip E.B. Jourdain）对这一现状的评估被贴上了“守旧的”和“古怪的”标签。它也被数学中发现的统一所支持，而不是被摧毁，因为任何人都能看到没有谁能够不顾C.S.刘易斯所说的“时间上的势利”。若丹说，

“......数学的本质是独立于我们个人和外部世界的，我们可以感觉到，我们自己的发现和观点并不影响真理本身，而只是影响我们或其他人所看到真理的程度。我们中的一些人在科学中发现了一些东西，但是我们在科学上并没有真正创造出任何东西，至多是哥伦布“创造”了美国......一些哲学家得出了一个惊人的结论：真理是由人类创造的，且哥伦布创造了美国；但是常识......是......以上是被哲学说服所奉承的，它确实占据了一个地方，而那个地方有时是为了一个更神圣的存在而保留的。”（21）

听起来像是乔丹恩的回声，夏尔·埃尔米特（Charles Hermite）说，“我相信数字和函数分析并不是我们精神的任意产物；我相信它们存在于我们之外，必然与客观现实的目标有相同的特性，我们找到或发现它们，并像物理学家、化学家和动物学家一样研究它们。”（22）

雅克·阿达马（Jacques Hadamard）——克莱因称他是“本世纪最重要的法国数学家”——说：“尽管我们还不知道真理，但它是先于我们而存在的，并且在误入歧途的惩罚之下，它不可避免地强加给我们一条我们必须跟随的道路。”（23）即便是伯特兰· 罗素（Bertrand Russell）也提到了“我们确信事实必须始终符合逻辑和算术”的说法，他声称，“认为逻辑和算术是由我们贡献的，并不能对这做出解释。”（24）

P.s.

1-括号里的数字为注释；

2-注释及英语原文请参考网站：https://answersingenesis.org/answers/books/truth-transcendent/