凸集的回收方向和回收锥
定义：设集合 
为非空凸集，若向量 
满足对于 
及 
有 
成立，则称 是 的回收方向(recession direction)。
中回收方向全体构成的集合称为 的回收锥(recession cone)，记为 
。
注意：回收锥是一个凸锥，并且原点包含在回收锥中，我们称为零回收方向。
Theorem（回收锥定理）
设集合 为非空闭凸集，则
- 回收锥 是闭凸集合；
- 向量
当且仅当存在 
使得对于 
满足 。
思考题：假设集合为非空凸集，我们又下面的结论成立：
%20%5Csubset%20R_%7BCL(C)%7D)
其中)
表示某个集合的闭包。
回收锥线性空间
定义： 非空凸集 的回收锥的线性空间 (lineality space) 记为 
，定义为：
%2C)
即 
当且仅当对于 有 
，方向 与方向 
均为 中的回收方向。
凸函数上镜图回收锥
Theorem（非空水平集的公共回收锥）
设函数 ![f: \mathbb{R}^n \mapsto (-\infty, \infty]](https://math.jianshu.com/math?formula=f%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%20%5Cmapsto%20(-%5Cinfty%2C%20%5Cinfty%5D)
是正常闭凸函数，则所有非空水平集：
%20%5Cleq%20%5Cgamma%5C%7D%2C%20%5Cgamma%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D)
有相同的回收锥，记为 
，且
%20%5Cin%20R_%7B%5Ctext%7Bepi%7D(f)%7D%5C%7D%2C)
其中 %7D)
是 
上镜图的回收锥。
凸函数回收锥
定义： 设 为正常闭凸函数， 的非空水平集的回收锥称为 的回收锥，记为 。回收锥 中的任意一个向量都称为 的回收方向。
凸函数函数值变化：
- 函数值沿着其回收方向为非增的；
- 沿着非回收方向 的函数值最终为递增的；
- 在有效域
)
内沿某方向函数值增加，该方向必然非 的回收方向。
定义： 设 为 
中闭的正常凸函数， 的回收方向线性空间定义为其回收锥 的线性空间，记为 
。
若 
，则有：
-
与 均为函数 的回收方向，也是 所有非空水平集的回收方向。
因凸函数函数值沿着回收方向非增，则有：
%20%3D%20f(x)%2C%20%5Cforall%20x%20%5Cin%20%5Coperatorname%7Bdom%7D(f)%2C%20%5Cforall%20%5Calpha%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D)
故 沿 方向的函数值为常数，也称 为 的常值空间（space of consistency）。所以常值空间其实就是函数梯度为
的方向。
凸函数的回收函数
定义： 设 ![f: \mathbb{R}^n \rightarrow (-\infty, \infty]](https://math.jianshu.com/math?formula=f%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%20%5Crightarrow%20(-%5Cinfty%2C%20%5Cinfty%5D)
为闭的正常凸函数，其上镜图的回收锥 对应的正常闭凸函数称为 的回收函数（recession function），记为 )
，满足 )%20%3D%20R_%7B%5Ctext%7Bepi%7D(f)%7D)
。
回收函数显式表达
Theorem（回收函数与方向导数）
设 是正常闭凸函数，对 )
和 
有：
%20%3D%20%5Csup_%7B%5Calpha%20%3E%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(x%20%2B%20%5Calpha%20d)%20-%20f(x)%7D%7B%5Calpha%7D)
%20-%20f(x)%7D%7B%5Calpha%7D.)
根据表达式，可以发现，回收函数与有着线性的关系。当
时就有%3D%5Clambda%20r_f(d_2))
回收函数运算性质
设 ![f_i: \mathbb{R}^n \mapsto (-\infty, \infty], i = 1, \ldots, m](https://math.jianshu.com/math?formula=f_i%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%20%5Cmapsto%20(-%5Cinfty%2C%20%5Cinfty%5D%2C%20i%20%3D%201%2C%20%5Cldots%2C%20m)
，是正常闭凸函数，若 %20%3D%20f_1(x)%20%2B%20%5Ccdots%20%2B%20f_m(x))
是正常闭凸函数，则有：
%20%3D%20r_%7Bf_1%7D(d)%20%2B%20%5Ccdots%20%2B%20r_%7Bf_m%7D(d)%2C%20%5Cforall%20d%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En.)
