查找算法
不管是之前学过的数组、链表、队列、还是栈，这些线性结构中，如果想在其中查找一个元素，效率是比较慢的，只有，因此如果你的需求是实现快速查找，那么就需要新的算法设计，也需要新的数据结构支持。
还记得最先介绍的那个二分查找算法吗？它的查找效率能够达到 ，是不是还不错？不过呢，它需要对数组事先排好序，而排序的成本是比较高的。那么有没有一个折中的办法呢？有，那就是接下来要给大家介绍的二叉搜索树
1. 二叉搜索树
二叉搜索树（也称二叉排序树）是符合下面特征的二叉树：
- 树节点增加 key 属性，用来比较谁大谁小，key 不可以重复
-
对于任意一个树节点，它的 key 比左子树的 key 都大，同时也比右子树的 key 都小，例如下图所示
image.png
轻易看出要查找 7 （从根开始）自然就可应用二分查找算法，只需三次比较
- 与 4 比，较之大，向右找
- 与 6 比，较之大，继续向右找
- 与 7 比，找到
查找的时间复杂度与树高相关，插入、删除也是如此。
- 如果这棵树长得还不赖（左右平衡）上图，那么时间复杂度均是
- 当然，这棵树如果长得丑（左右高度相差过大）下图，那么这时是最糟的情况，时间复杂度是
image.png
注：
- 二叉搜索树 - 英文 binary search tree，简称 BST
- 二叉排序树 - 英文 binary ordered tree 或 binary sorted tree
定义节点
static class BSTNode {
int key; // 若希望任意类型作为 key, 则后续可以将其设计为 Comparable 接口
Object value;
BSTNode left;
BSTNode right;
public BSTNode(int key) {
this.key = key;
this.value = key;
}
public BSTNode(int key, Object value) {
this.key = key;
this.value = value;
}
public BSTNode(int key, Object value, BSTNode left, BSTNode right) {
this.key = key;
this.value = value;
this.left = left;
this.right = right;
}
}
查询
递归实现
public Object get(int key) {
return doGet(root, key);
}
private Object doGet(BSTNode node, int key) {
if (node == null) {
return null; // 没找到
}
if (key < node.key) {
return doGet(node.left, key); // 向左找
} else if (node.key < key) {
return doGet(node.right, key); // 向右找
} else {
return node.value; // 找到了
}
}
非递归实现
public Object get(int key) {
BSTNode node = root;
while (node != null) {
if (key < node.key) {
node = node.left;
} else if (node.key < key) {
node = node.right;
} else {
return node.value;
}
}
return null;
}
Comparable
如果希望让除 int 外更多的类型能够作为 key，一种方式是 key 必须实现 Comparable 接口。
public class BSTTree2<T extends Comparable<T>> {
static class BSTNode<T> {
T key; // 若希望任意类型作为 key, 则后续可以将其设计为 Comparable 接口
Object value;
BSTNode<T> left;
BSTNode<T> right;
public BSTNode(T key) {
this.key = key;
this.value = key;
}
public BSTNode(T key, Object value) {
this.key = key;
this.value = value;
}
public BSTNode(T key, Object value, BSTNode<T> left, BSTNode<T> right) {
this.key = key;
this.value = value;
this.left = left;
this.right = right;
}
}
BSTNode<T> root;
public Object get(T key) {
return doGet(root, key);
}
private Object doGet(BSTNode<T> node, T key) {
if (node == null) {
return null;
}
int result = node.key.compareTo(key);
if (result > 0) {
return doGet(node.left, key);
} else if (result < 0) {
return doGet(node.right, key);
} else {
return node.value;
}
}
}
还有一种做法不要求 key 实现 Comparable 接口，而是在构造 Tree 时把比较规则作为 Comparator 传入，将来比较 key 大小时都调用此 Comparator 进行比较，这种做法可以参考 Java 中的 java.util.TreeMap
最小
递归实现
public Object min() {
return doMin(root);
}
public Object doMin(BSTNode node) {
if (node == null) {
return null;
}
// 左边已走到头
if (node.left == null) {
return node.value;
}
return doMin(node.left);
}
非递归实现
public Object min() {
if (root == null) {
return null;
}
BSTNode p = root;
// 左边未走到头
while (p.left != null) {
p = p.left;
}
return p.value;
}
最大
递归实现
public Object max() {
return doMax(root);
}
public Object doMax(BSTNode node) {
if (node == null) {
return null;
}
// 右边已走到头
if (node.left == null) {
return node.value;
}
return doMin(node.right);
}
非递归实现
public Object max() {
if (root == null) {
return null;
}
BSTNode p = root;
// 右边未走到头
while (p.right != null) {
p = p.right;
}
return p.value;
}
新增
递归实现
public void put(int key, Object value) {
root = doPut(root, key, value);
}
private BSTNode doPut(BSTNode node, int key, Object value) {
if (node == null) {
return new BSTNode(key, value);
}
if (key < node.key) {
node.left = doPut(node.left, key, value);
} else if (node.key < key) {
node.right = doPut(node.right, key, value);
} else {
node.value = value;
}
return node;
}
- 若找到 key，走 else 更新找到节点的值
- 若没找到 key，走第一个 if，创建并返回新节点
- 返回的新节点，作为上次递归时 node 的左孩子或右孩子
- 缺点是，会有很多不必要的赋值操作
非递归实现
public void put(int key, Object value) {
BSTNode node = root;
BSTNode parent = null;
while (node != null) {
parent = node;
if (key < node.key) {
node = node.left;
} else if (node.key < key) {
node = node.right;
} else {
// 1. key 存在则更新
node.value = value;
return;
}
}
// 2. key 不存在则新增
if (parent == null) {
root = new BSTNode(key, value);
} else if (key < parent.key) {
parent.left = new BSTNode(key, value);
} else {
parent.right = new BSTNode(key, value);
}
}
前驱后继
image.png
一个节点的前驱（前任）节点是指比它小的节点中，最大的那个
一个节点的后继（后任）节点是指比它大的节点中，最小的那个
例如上图中
- 1 没有前驱，后继是 2
- 2 前驱是 1，后继是 3
- 3 前驱是 2，后继是 4
- ...
简单的办法是中序遍历，即可获得排序结果，此时很容易找到前驱后继
要效率更高，需要研究一下规律，找前驱分成 2 种情况：
image.png
- 节点有左子树，此时前驱节点就是左子树的最大值，图中属于这种情况的有
- 2 的前驱是1
- 4 的前驱是 3
- 6 的前驱是 5
- 7 的前驱是 6
- 节点没有左子树，若离它最近的祖先自从左而来，此祖先即为前驱，如
- 3 的祖先 2 自左而来，前驱 2
- 5 的祖先 4 自左而来，前驱 4
- 8 的祖先 7 自左而来，前驱 7
- 1 没有这样的祖先，前驱 null
找后继也分成 2 种情况
image.png
- 节点有右子树，此时后继节点即为右子树的最小值，如
- 2 的后继 3
- 3 的后继 4
- 5 的后继 6
- 7 的后继 8
- 节点没有右子树，若离它最近的祖先自从右而来，此祖先即为后继，如
- 1 的祖先 2 自右而来，后继 2
- 4 的祖先 5 自右而来，后继 5
- 6 的祖先 7 自右而来，后继 7
- 8 没有这样的祖先，后继 null
public Object predecessor(int key) {
BSTNode ancestorFromLeft = null;
BSTNode p = root;
while (p != null) {
if (key < p.key) {
p = p.left;
} else if (p.key < key) {
ancestorFromLeft = p;
p = p.right;
} else {
break;
}
}
if (p == null) {
return null;
}
// 情况1 - 有左孩子
if (p.left != null) {
return max(p.left);
}
// 情况2 - 有祖先自左而来
return ancestorFromLeft != null ? ancestorFromLeft.value : null;
}
public Object successor(int key) {
BSTNode ancestorFromRight = null;
BSTNode p = root;
while (p != null) {
if (key < p.key) {
ancestorFromRight = p;
p = p.left;
} else if (p.key < key) {
p = p.right;
} else {
break;
}
}
if (p == null) {
return null;
}
// 情况1 - 有右孩子
if (p.right != null) {
return min(p.right);
}
// 情况2 - 有祖先自右而来
return ancestorFromRight != null ? ancestorFromRight.value : null;
}
删除
要删除某节点（称为 D），必须先找到被删除节点的父节点，这里称为 Parent
- 删除节点没有左孩子，将右孩子托孤给 Parent
- 删除节点没有右孩子，将左孩子托孤给 Parent
- 删除节点左右孩子都没有，已经被涵盖在情况1、情况2 当中，把 null 托孤给 Parent
- 删除节点左右孩子都有，可以将它的后继节点（称为 S）托孤给 Parent，设 S 的父亲为 SP，又分两种情况
- SP 就是被删除节点，此时 D 与 S 紧邻，只需将 S 托孤给 Parent
- SP 不是被删除节点，此时 D 与 S 不相邻，此时需要将 S 的后代托孤给 SP，再将 S 托孤给 Parent
非递归实现
/**
* <h3>根据关键字删除</h3>
*
* @param key 关键字
* @return 被删除关键字对应值
*/
public Object delete(int key) {
BSTNode p = root;
BSTNode parent = null;
while (p != null) {
if (key < p.key) {
parent = p;
p = p.left;
} else if (p.key < key) {
parent = p;
p = p.right;
} else {
break;
}
}
if (p == null) {
return null;
}
// 删除操作
if (p.left == null) {
shift(parent, p, p.right); // 情况1
} else if (p.right == null) {
shift(parent, p, p.left); // 情况2
} else {
// 情况4
// 4.1 被删除节点找后继
BSTNode s = p.right;
BSTNode sParent = p; // 后继父亲
while (s.left != null) {
sParent = s;
s = s.left;
}
// 4.2 删除和后继不相邻, 处理后继的后事
if (sParent != p) {
shift(sParent, s, s.right); // 不可能有左孩子
s.right = p.right;
}
// 4.3 后继取代被删除节点
shift(parent, p, s);
s.left = p.left;
}
return p.value;
}
/**
* 托孤方法
*
* @param parent 被删除节点的父亲
* @param deleted 被删除节点
* @param child 被顶上去的节点
*/
// 只考虑让 n1父亲的左或右孩子指向 n2, n1自己的左或右孩子并未在方法内改变
private void shift(BSTNode parent, BSTNode deleted, BSTNode child) {
if (parent == null) {
root = child;
} else if (deleted == parent.left) {
parent.left = child;
} else {
parent.right = child;
}
}
递归实现
public Object delete(int key) {
ArrayList<Object> result = new ArrayList<>();
root = doDelete(root, key, result);
return result.isEmpty() ? null : result.get(0);
}
public BSTNode doDelete(BSTNode node, int key, ArrayList<Object> result) {
if (node == null) {
return null;
}
if (key < node.key) {
node.left = doDelete(node.left, key, result);
return node;
}
if (node.key < key) {
node.right = doDelete(node.right, key, result);
return node;
}
result.add(node.value);
if (node.left != null && node.right != null) {
BSTNode s = node.right;
while (s.left != null) {
s = s.left;
}
s.right = doDelete(node.right, s.key, new ArrayList<>());
s.left = node.left;
return s;
}
return node.left != null ? node.left : node.right;
}
说明
-
ArrayList<Object> result用来保存被删除节点的值 - 第二、第三个 if 对应没找到的情况，继续递归查找和删除，注意后续的 doDelete 返回值代表删剩下的，因此需要更新
- 最后一个 return 对应删除节点只有一个孩子的情况，返回那个不为空的孩子，待删节点自己因没有返回而被删除
- 第四个 if 对应删除节点有两个孩子的情况，此时需要找到后继节点，并在待删除节点的右子树中删掉后继节点，最后用后继节点替代掉待删除节点返回，别忘了改变后继节点的左右指针
找小的
public List<Object> less(int key) {
ArrayList<Object> result = new ArrayList<>();
BSTNode p = root;
LinkedList<BSTNode> stack = new LinkedList<>();
while (p != null || !stack.isEmpty()) {
if (p != null) {
stack.push(p);
p = p.left;
} else {
BSTNode pop = stack.pop();
if (pop.key < key) {
result.add(pop.value);
} else {
break;
}
p = pop.right;
}
}
return result;
}
找大的
public List<Object> greater(int key) {
ArrayList<Object> result = new ArrayList<>();
BSTNode p = root;
LinkedList<BSTNode> stack = new LinkedList<>();
while (p != null || !stack.isEmpty()) {
if (p != null) {
stack.push(p);
p = p.left;
} else {
BSTNode pop = stack.pop();
if (pop.key > key) {
result.add(pop.value);
}
p = pop.right;
}
}
return result;
}
但这样效率不高，可以用 RNL 遍历
注：
- Pre-order, NLR
- In-order, LNR
- Post-order, LRN
- Reverse pre-order, NRL
- Reverse in-order, RNL
- Reverse post-order, RLN
public List<Object> greater(int key) {
ArrayList<Object> result = new ArrayList<>();
BSTNode p = root;
LinkedList<BSTNode> stack = new LinkedList<>();
while (p != null || !stack.isEmpty()) {
if (p != null) {
stack.push(p);
p = p.right;
} else {
BSTNode pop = stack.pop();
if (pop.key > key) {
result.add(pop.value);
} else {
break;
}
p = pop.left;
}
}
return result;
}
找之间
public List<Object> between(int key1, int key2) {
ArrayList<Object> result = new ArrayList<>();
BSTNode p = root;
LinkedList<BSTNode> stack = new LinkedList<>();
while (p != null || !stack.isEmpty()) {
if (p != null) {
stack.push(p);
p = p.left;
} else {
BSTNode pop = stack.pop();
if (pop.key >= key1 && pop.key <= key2) {
result.add(pop.value);
} else if (pop.key > key2) {
break;
}
p = pop.right;
}
}
return result;
}
