三角函数之目：单调性~2012年理数全国卷题9

2012年理数全国卷题9

已知 $\omega \gt 0$ ，函数 $f(x)=\sin(\omega x + \dfrac{\pi}{4})$ 在 $(\dfrac{\pi}{2},\pi)$ 单调递减，则 $\omega$ 的取值范围是

$(A)[\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{4}] \qquad (B)[\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{4}] \qquad (C)(0,\dfrac{1}{2}] \qquad (D)(0,2]$

【解析】

函数在 $(\dfrac{\pi}{2},\pi)$ 单调递减 $\Rightarrow\;\dfrac{T}{2} \geqslant (\pi -\dfrac{\pi}{2})$ $\Rightarrow \dfrac{2\pi}{T} \geqslant \pi \Rightarrow\;\omega \leqslant 2$

令 $X=\omega x + \dfrac{\pi}{4}$ , 则 $\sin(\omega x + \dfrac{\pi}{4})=\sin X$

$\sin X$ 的单调减区间有： $(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2})$ , $(2\pi+\dfrac{\pi}{2},2\pi+\dfrac{3\pi}{2}),\cdots$

$\omega \leqslant 2 \Rightarrow\; (\omega x + \dfrac{\pi}{4}) \leqslant 2\pi + \dfrac{\pi}{2}$

所以，只需要考虑第一个单调减区间： $(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2})$

由此可得以下不等式组：

$\left\{ \begin{array}\\ \dfrac{\pi}{2} \leqslant \omega \cdot \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{4} \leqslant \pi\\ \\ \dfrac{\pi}{2} \leqslant \omega \cdot \pi + \dfrac{\pi}{4} \leqslant \pi \end{array} \right.$

解得： $\dfrac{1}{2} \leqslant \omega \leqslant \dfrac{5}{4}$

故选A.

最后编辑于：2021.03.01 21:02:52

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