【物理引擎系列（1）】基础刚体物理 - 旋转矩阵，欧拉角，角速度

（1）转动的描述

绕O 点旋转的直杆，P 点上的线速度v，旋转半径 $r_P$ ，以及角速度 $\omega$

Screenshot 2022-08-20 095105.png

注意 $\pmb{\omega} \times \pmb{r_P} = \pmb{\omega} \times \pmb{r^{,}_{P}}$

转动惯量

moment of inertia, rotational intertia , angular mass
$I = m||\pmb{r}||^2$
I 的方向和 $\omega$ 一致

力矩

torque
$\pmb{\tau} = \pmb{r} \times \pmb{F} = \pmb{r} \times (m\pmb{\alpha} \times \pmb{r})$
注意角加速度 $\alpha$ 方向和角速度一致，都是向上
力矩和转动惯量关系
$\pmb{\tau} = \pmb{r} \times (m\pmb{\alpha} \times \pmb{r})$
$= m ( (\pmb{r} \cdot \pmb{r}) \pmb{\alpha} -(\pmb{r} \cdot \pmb{\alpha})\pmb{r} )$
$= mr^2 \pmb{\alpha} = I\pmb{\alpha}$

角动量

angular momentum
$\pmb{L} = \pmb{r} \times \pmb{p} = I\pmb{\omega}$
角动量是力矩对时间的积分，对应于动量是力对时间的积分

（2）欧拉角

一个旋转的欧拉角表示，在未定义旋转轴次序时，解是不唯一的。
常规欧拉角，参考的三个旋转轴为固定的一个坐标系的三个轴
例如 unity 中的欧拉角，旋转顺序为 zxy [link]，坐标轴为世界坐标系的xyz。
这种描述方式在绕自身坐标系旋转时并不好用，更为常用的一种描述是用 yaw-pitch-roll 方式描述，所绕的坐标轴分别是自身坐标系下的 z(上）- y''-x'''（前） [link]

为了下文的角速度推导，以文献中常用的 z - x' - z'' 为例

rot123.png

旋转矩阵

在一个 XYZ 坐标系中，绕 X, Y, Z 坐标轴的旋转矩阵分别为
${R_x(\theta)} = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta & -sin\theta \\ 0 & sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right]$

${R_y(\theta)} = \left[ \begin{matrix} cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin\theta & 0 & cos\theta \end{matrix} \right]$

${R_z(\theta)} = \left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

旋转矩阵是正交矩阵。三列分别等于旋转后的 x,y,z 轴在原坐标系中的表示。

z-x'-z'' 旋转顺序下的 $\pmb{v}_{rot} = R_z(\phi)R_{x^{'}}(\theta)R_{z^{''}}(\psi)\pmb{v}$ 推导

令 $\pmb{v}$ 在坐标系A 中的表示记为 $\left\{ \pmb{v} \right\}_A$
由 A -> B -> C -> D ，从A 分别乘上三次旋转矩阵，通过z-x'-z''到 D 坐标系
记
$\left\{ \pmb{v_2} \right\}_A= R_z(\psi) \left\{ \pmb{v_1} \right\}_A$
$\left\{ \pmb{v_3} \right\}_B= R_{x^{'}}(\theta) \left\{ \pmb{v_2} \right\}_B$
$\left\{ \pmb{v_4} \right\}_C= R_{z^{''}}(\phi) \left\{ \pmb{v_3} \right\}_C$

其中有 $\left\{ \pmb{v_1} \right\}_A$ = $\left\{ \pmb{v_2} \right\}_B$ = $\left\{ \pmb{v_3} \right\}_C$ = $\left\{ \pmb{v_4} \right\}_D$

对于正交变换 $R_{AB}$ ，当坐标系通过 $R_{AB}$ 由 A->B 时有如下推导：

$\left\{ \pmb{v_2} \right\}_A = R_{AB} \left\{ \pmb{v_1} \right\}_A$
$\left\{ \pmb{v_2} \right\}_B = \left\{ \pmb{v_1} \right\}_A$
将下式带入上式有
$\left\{ \pmb{v_2} \right\}_A = R_{AB} \left\{ \pmb{v_2} \right\}_B$

所以
$\left\{ \pmb{v_3} \right\}_B = R_x(\theta) \left\{ \pmb{v_3} \right\}_C$

$\left\{ \pmb{v_4} \right\}_A = R_z(\phi) \left\{ \pmb{v_3} \right\}_B$
$= R_z(\phi) R_{x^{'}}(\theta) \left\{ \pmb{v_2} \right\}_B$
$= R_z(\phi) R_{x^{'}}(\theta) R_{z^{''}}\psi) \left\{ \pmb{v_1} \right\}_A$

旋转矩阵与轴角的互转

比较简单，不详述。详细可参考 wiki link
在轴角表示 $\pmb{u} , \theta$ 中满足 $R\pmb{u} = \pmb{u}$
可以推得 $(R-R^T)\pmb{u} = 0$

一个补充概念：
$[u]_{\times} = \left[ \matrix{ 0 & -u_3 & u_2 \\ u_3 & 0 & -u_1 \\ -u_2 & u_1 & 0 } \right]$

$[u]_{\times} \pmb{u} = \pmb{u} \times \pmb{u} = 0$
因此
$[u]_{\times} = R-R^T$
=>
$\pmb{u} = [R_{32} - R_{23}, R_{13} - R_{31}, R_{12} -R_{21}]$

如果旋转矩阵为对称矩阵，此方法失效。需要求解对称矩阵的特征向量。但此时旋转矩阵一定为单位阵。所以轴任意轴向，转角为0。

得到轴之后代回 $R\pmb{u} = \pmb{u}$ 即可求解 $\theta$
$|\theta| = arccos((tr(R)-1)/2)$

从轴角到 R 也很容易推导，不再详述。直接参考 wiki 的结果即可。

（3）从欧拉角推导角速度

最终旋转得到的坐标系中 x3-y3 平面，与 x0-y0 平面的交线为黑色虚线，被称为 line of nodes。
旋转顺序 $R_z(\psi)$ - $R_{x^{'}}(\theta)$ - $R_{z^{''}}(\phi)$

ref_frame.png

角速度可以被定义在3个旋转轴上，以原始坐标系 A 中的 $\pmb{u_1}$ , $\pmb{u_2}$ , $\pmb{u_3}$ 表示，参考 wiki link。
$\pmb{\omega} = \psi \pmb{u_1} + \theta \pmb{u_2} + \phi \pmb{u_3}$ (定义）

u1u2u3.png

但是为了便利，一般将其重定义为绕自己的三个local坐标轴 x3, y3, z3 的表示
$\pmb{\omega} = \left[ \omega_1, \omega_2, \omega_3 \right]$
$= \omega_1 \pmb{x_3} + \omega_2 \pmb{y_3} + \omega_3 \pmb{z_3}$

从 $\pmb{u_1}$ , $\pmb{u_2}$ , $\pmb{u_3}$ 到 $\pmb{x_3}$ , $\pmb{y_3}$ , $\pmb{z_3}$ ,即将 $\pmb{u_1}$ , $\pmb{u_2}$ , $\pmb{u_3}$ 投影到 x3-y3-z3 构成的坐标系中，有：

$\pmb{u_3} = \pmb{z_3}$
$\pmb{u_2} = -sin(\phi) \pmb{y_3} + cos(\phi) \pmb{x_3}$
$\pmb{u_1} = cos(\theta) \pmb{z_3} + sin(\theta)sin(\phi) \pmb{x_3} + sin(\theta)cos(\phi) \pmb{y_3}$

带入之前的角速度定义，整理得：
$\omega_1 = \psi sin(\theta)sin(\phi) + \theta cos(\phi)$
$\omega_2 = \psi sin(\theta)cos(\phi) - \theta sin(\phi)$
$\omega_3 = \psi cos(\theta) + \phi$

最后编辑于：2022.08.21 20:35:42

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