5.1对流微分方程组的精确解（假设过程不精确，解方程精确）

1.方程组如下

$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\\ \rho(\frac{\partial u}{\partial \tau}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})=F_x-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2})\\ \rho(\frac{\partial v}{\partial \tau}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y})=F_x-\frac{\partial p}{\partial y}+\eta(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2})\\ \lambda\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}+\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}=\rho C_p(\frac{\partial t}{\partial \tau}+u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y})\\ h_x=-\frac{\lambda}{t_w-t_\infty}(\frac{\partial t}{\partial y})_{w,x}\text{(解流场，得到温度场，得到局部对流换热系数)} \end{cases}\tag{微分方程组完全体}$

在只有重力场的作用下，体积力 $F_x=\rho g_x,F_y=\rho g_y$

流动边界层和热边界层的状况决定了热传递过程和边界层内温度分布

2.采用边界层理论分析数量级大小，对偏微分方程组进行简化

数量级分析：保留量级较大的量，舍去量级较小的量

000.png

下标∞表示原理壁面，边界层厚度 $\delta，\delta_t$ 随x方向变化，是x的函数

取五个基本量来定义量级

①.主流速度 $u_\infty \sim O(1)$ 主流速度比如为10m/s，是一个大量，量级定义为O(1)

②.温度 $t \sim O(1)$ ，无论是壁面温度，流体温度都是大量（工程中冷却或加热，不可能接近0K）

③.平板长度 $l \sim O(1)$ ，平板长度一般都不小

④.边界层厚度 $\delta \sim O(\delta)$ ， $\delta_t \sim O(\delta)$ ,边界层厚度为平板长度的1.8%,括号里面的delta表示小量，这也是边界层厚度的符号用 $\delta$ 表示的原因

5个基本量的量纲确定，现在来看其他量大小

①.x相对于l来说是相当， $x \sim l\sim O(1)$ ; $0\leq y\leq \delta,\therefore y\sim O(\delta)$

$O(1),O(\delta)$ 表示数量级1和 $\delta,1>>\delta$ .

例：简化-①二维②稳态(与时间的偏微分为0)③强制对流（忽略浮升力）④层流⑤忽略重力加速度g(没有体积力Fx和Fy)

u是沿着边界层从0变化到u∞, $u\sim u\infty\sim O(1)$ 是个小量到大量，所以这里体现了不严格的地方

v是沿着y方向的速度，如果没有y方向上的速度，流体就不会增厚（尽管很小，但是不是0），是一个小量

推导过程,连续性方程

$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\\ \therefore -\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}\sim \frac{u_\infty}{l}=\frac{O(1)}{O(1)}=1\\ \therefore -\frac{\partial v}{\partial y}\sim \frac{v}{O(\delta)}\sim O(1)\\ \therefore v\sim O(\delta)$

3.大部分的量的大小都有了，我们带入微分方程组

①连续性方程，这两个方向上的速度分量互相平衡，推出了v为小量

$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\\ \color{#00F}{\frac{1}{1}}~~~~~~\color{#00F}{\frac{\delta}{\delta}}~~~~~~~ \end{aligned}$

②x方向上u的动量方程,密度 $\rho$ 一般为大量， $\eta$ 为 $O(\delta ^2)$

注意二阶偏导数 $\frac{\partial u^2}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial u}{\partial x})$ ,所以 $\frac{\partial u^2}{\partial x^2}\sim\frac{1}{1^2}$ ,同理 $\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\sim \frac{1}{\delta ^2}$

$\begin{aligned} \rho(\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2})\\ \color{#00F}{1(\frac{1}{1}~~~~~~~\delta\frac{1}\delta)~~~~~~~~?①~~~~?②(\frac{1}{1^2}~~~~~\frac{1}{\delta^2})~~~}\\ \end{aligned}$

现在分析下两个未知量级的量，根据牛顿定律，力产生加速度，等式右边与左边平衡。等市左边是量级为O(1)的量，因此等式右边必须为O(1)

因此， $\frac{\partial p}{\partial x}必须\sim O(1) \therefore \frac{\partial p}{\partial x}\sim\frac{1}{1}$

同样的道理， $\eta$ 乘以一个 $\frac{1}{\delta ^2}$ 的量为O(1)，因此 $\eta \sim \delta^2$

$\begin{aligned} \rho(u \frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2})\\ \color{#00F}{1(1\frac{1}{1}~~~~~~~\delta\frac{1}\delta)~~~~~~~~\frac{1}{1}~~~~~~\delta^2(\frac{1}{1^2}~~~~~\frac{1}{\delta^2})~~~}\\ \end{aligned}$

观察 $\delta^2 \frac{1}{1^2}$ 是一个小量，因此上面的式子可以简化一项

$\require{cancel} \rho(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta(\cancel{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2})$
$\therefore \color{#F00}{\rho(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}\tag{1}$

③y方向上v的动量方程，较为简单

$\begin{aligned} \rho(u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial y}+\eta(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2})\\ \color{#00F}{1(1\frac{\delta}{1}~~~~~~~\delta\frac{\delta}\delta)~~~~~~~~~~?①~~~\delta^2(\frac{\delta}{1^2}~~~~~\frac{\delta}{\delta^2})~~~}\\ \end{aligned}$

分析上面的量级关系，同样由于平衡，等式左边是 $O(\delta)$ 量级，所以 $\frac{\partial p}{\partial y}$ 也为 $O(\delta)$ 量级，整个方程平衡，都为小量，y方向上的动量守恒方程直接整体省略

$\begin{aligned} \require{cancel} \color{#00F}{1(1\frac{\delta}{1}~~~~~~~~\delta\frac{\delta}\delta)~~~~~~~~~~~\delta~~~~~~~\delta^2(\frac{\delta}{1^2}~~~~~\frac{\delta}{\delta^2})~~~}\\ \cancel{\rho(u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial y}+\eta(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2})}\\ \end{aligned}$

④还剩下一个能量方程，空气的比热Cp为1005左右为大量，尽管密度很小，但是 $\rho\cdot c_p$ 为大量

$\begin{aligned} \lambda(\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2t}{\partial y^2})=\rho C_p(u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y})\\ \color{#00F}{\delta_t^2(\frac{1}{1^2}~~~~~~~~\frac{1}{\delta^2})~~~~~~~~~~~1(1\frac{1}{1}~~~~~\delta\frac{1}{\delta})~~~}\\ \end{aligned}$

观察上式， $\frac{1}{1^2}$ 远小于 $\frac{1}{\delta ^2}$ ，因此温度随x方向的二阶偏微分可以省略

$\require{cancel} \cancel{\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}}+\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}=\rho C_p(u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y})\\ \therefore \color{#F00}{\rho C_p(u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y})=\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}}\tag{2}$

4.简化后，我们把方程组写出来，现在只有3个方程+1目标方程.

$\begin{cases} \color{#F0F}{\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0}\\ \color{#F0F}{\rho(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}\\ \color{#F0F}{\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}=\rho C_p(u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y})}\\ \color{#F0F}{{h_x=-\frac{\lambda}{t_w-t_\infty}(\frac{\partial t}{\partial y})_{w,x}}} \end{cases}\tag{3}$

由于我们直接删除了一个方程，上面的方程组4个，未知数5个（u,v,p,t,h）

还有一个方程去哪里补充？注意到我们在推导y方向上压力偏微分为小量，同时得到了一个信息，压力p沿着x方向变化，沿着y方向几乎不变化,边界层内压力与y无关，为主流压力，需要推导新增压力公式，如下：

$\require{cancel} \because \rho(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\\ 在主流处，u\approx u_\infty,速度u在y方向无变化，对y的偏导数全为0\\ \color{#F0F}{\frac{\partial p}{\partial y}\sim O(\delta)~~~~~~~~~\frac{\partial p}{\partial x}=\frac{dp}{dx}\sim O(1)}\\ \rho(u\frac{\partial u}{\partial x}+\cancel{v\frac{\partial u}{\partial y}})=-\frac{\partial p}{\partial x}+\cancel{\eta\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}\\$
$\therefore -\frac{dp}{dx}=\rho u_\infty\frac{du_\infty}{dx}\tag{3.5}$

注意 $\lambda=\rho\cdot a\cdot c_p,a=\frac{\lambda}{\rho c_p}$ ，同时运动粘度 $\nu=\eta /\rho$ ,方程组(3)加入(3.5)变形为如下

$\begin{cases} \color{#F00}{\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0}\\ \color{#F00}{u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dx}+\nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}\\ \color{#F00}{u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y}=a\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}}\\ \color{#F00}{ -\frac{dp}{dx}=\rho u_\infty\frac{du_\infty}{dx}}\\ h_x=-\frac{\lambda}{t_w-t_\infty}(\frac{\partial t}{\partial y})_{w,x} \end{cases}\tag{4}$

6.平板流动模型下的方程组，压力p为已知数,四个未知数：u，v，t，hx

$\begin{cases} \color{#F00}{\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0}\\ \color{#F00}{u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=\nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}\\ \color{#F00}{u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y}=a\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}}\\ h_x=-\frac{\lambda}{t_w-t_\infty}(\frac{\partial t}{\partial y})_{w,x} \end{cases}\tag{5}$

方程组有两个形式完全一样,动量传递与热量传递形式相似.再特殊一点， $\nu=a，\delta=\delta_t (Pr=1)$ ，速度场与无量纲的)温度场一样

课本上直接经过无量纲化，得到动量方程于能量方程形式接近的比拟理论，将求摩擦系数的公式类比求得对流换热系数hx

5.无量纲化：无量纲的坐标X,Y;无量纲的压力；无量纲的速度U,V;无量纲的过余温度 $\Theta$

$X=\frac{x}{l};Y=\frac{y}{l};P=\frac{p}{\rho u^2_\infty};U=\frac{u}{u_\infty};V=\frac{v}{u_\infty};\Theta=\frac{t-t_w}{t_f-t_w}$
方程组（4.1）到（4.4）变形为：
$\begin{cases} \frac{\partial U}{\partial X}+\frac{\partial V}{\partial Y}=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(Re-雷诺数)}\\ U\frac{\partial U}{\partial X}+V\frac{\partial U}{\partial Y}=-\frac{dP}{dX}+\frac{1}{Re}\frac{\partial^2 U}{\partial Y^2}\\ U\frac{\partial \Theta}{\partial X}+V\frac{\partial \Theta}{\partial Y}=\frac{1}{Re\cdot Pr}\frac{\partial ^2 \Theta}{\partial Y^2}~~~~~~~~~~~~~~~\text{(Pr-普朗特数，运动粘度与热扩散系数的比值)}\\ \end{cases}\tag{6}$

观察上面的组合，不知道如何解也能大概知道如下关系,dp/dx为已知数不是变量

$U=f_1(X,Y,Re);V=f_2(X,Y,Re);\\ \Theta=f_3(X,Y,U,V,Re,pr)=f_3(X,Y,Re,Pr)$

6.平板流动模型下的方程组，压力p为已知数,四个未知数：u，v，t，hx

现在方程组中(6.2)与（6.3）形式很接近，多了一项，思考该流动模型的物理原型-平板

平板流动下，主流方向速度不随x变化(外掠圆管形成卡门涡街，东莞虎门大桥波浪震动;管内流动)

$\because 平板模型u_\infty=const \therefore \frac{du_\infty}{dx}=0$
去掉压力项，未知数p也去掉，方程组依然封闭
$\begin{cases} \color{#F00}{\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0}\\ \color{#F00}{u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=\nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}\\ \color{#F00}{u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y}=a\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}}\\ h_x=-\frac{\lambda}{t_w-t_\infty}(\frac{\partial t}{\partial y})_{w,x} \end{cases}\tag{平板简化}$

无量纲方程组顺便简化

$\begin{cases} \frac{\partial U}{\partial X}+\frac{\partial V}{\partial Y}=0\\ U\frac{\partial U}{\partial X}+V\frac{\partial U}{\partial Y}=\frac{1}{Re}\frac{\partial^2 U}{\partial Y^2}\\ U\frac{\partial \Theta}{\partial X}+V\frac{\partial \Theta}{\partial Y}=\frac{1}{Re\cdot Pr}\frac{\partial ^2 \Theta}{\partial Y^2}\\ \end{cases}\tag{7}$

现在 $U,V,\Theta$ 的分布都是（0，1）,因此速度场接出来就可以类比得到温度场下，然后解除换热系数。

完整推导过程不做要求

最后编辑于：2022.09.13 09:52:51

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5.1对流微分方程组的精确解（假设过程不精确，解方程精确）

1.方程组如下

在只有重力场的作用下，体积力

流动边界层和热边界层的状况决定了热传递过程和边界层内温度分布

2.采用边界层理论分析数量级大小，对偏微分方程组进行简化

数量级分析：保留量级较大的量，舍去量级较小的量

取五个基本量来定义量级

①.主流速度主流速度比如为10m/s，是一个大量，量级定义为O(1)

②.温度，无论是壁面温度，流体温度都是大量（工程中冷却或加热，不可能接近0K）

③.平板长度，平板长度一般都不小

④.边界层厚度，,边界层厚度为平板长度的1.8%,括号里面的delta表示小量，这也是边界层厚度的符号用表示的原因

5个基本量的量纲确定，现在来看其他量大小

①.x相对于l来说是相当，;

表示数量级1和.

例：简化-①二维②稳态(与时间的偏微分为0)③强制对流（忽略浮升力）④层流⑤忽略重力加速度g(没有体积力Fx和Fy)

u是沿着边界层从0变化到u∞,是个小量到大量，所以这里体现了不严格的地方

v是沿着y方向的速度，如果没有y方向上的速度，流体就不会增厚（尽管很小，但是不是0），是一个小量

推导过程,连续性方程

3.大部分的量的大小都有了，我们带入微分方程组

①连续性方程，这两个方向上的速度分量互相平衡，推出了v为小量

②x方向上u的动量方程,密度一般为大量，为

注意二阶偏导数,所以,同理

现在分析下两个未知量级的量，根据牛顿定律，力产生加速度，等式右边与左边平衡。等市左边是量级为O(1)的量，因此等式右边必须为O(1)

因此，

同样的道理， 乘以一个的量为O(1)，因此

观察是一个小量，因此上面的式子可以简化一项

③y方向上v的动量方程，较为简单

分析上面的量级关系，同样由于平衡，等式左边是量级，所以也为量级，整个方程平衡，都为小量，y方向上的动量守恒方程直接整体省略

④还剩下一个能量方程，空气的比热Cp为1005左右为大量，尽管密度很小，但是为大量

观察上式，远小于，因此温度随x方向的二阶偏微分可以省略

4.简化后，我们把方程组写出来，现在只有3个方程+1目标方程.

由于我们直接删除了一个方程，上面的方程组4个，未知数5个（u,v,p,t,h）

还有一个方程去哪里补充？注意到我们在推导y方向上压力偏微分为小量，同时得到了一个信息，压力p沿着x方向变化，沿着y方向几乎不变化,边界层内压力与y无关，为主流压力，需要推导新增压力公式，如下：

注意，同时运动粘度,方程组(3)加入(3.5)变形为如下

6.平板流动模型下的方程组，压力p为已知数,四个未知数：u，v，t，hx

方程组有两个形式完全一样,动量传递与热量传递形式相似.再特殊一点，，速度场与无量纲的)温度场一样

课本上直接经过无量纲化，得到动量方程于能量方程形式接近的比拟理论，将求摩擦系数的公式类比求得对流换热系数hx

5.无量纲化：无量纲的坐标X,Y;无量纲的压力；无量纲的速度U,V;无量纲的过余温度

观察上面的组合，不知道如何解也能大概知道如下关系,dp/dx为已知数不是变量

6.平板流动模型下的方程组，压力p为已知数,四个未知数：u，v，t，hx

现在方程组中(6.2)与（6.3）形式很接近，多了一项，思考该流动模型的物理原型-平板

平板流动下，主流方向速度不随x变化(外掠圆管形成卡门涡街，东莞虎门大桥波浪震动;管内流动)

无量纲方程组顺便简化

现在的分布都是（0，1）,因此速度场接出来就可以类比得到温度场下，然后解除换热系数。

完整推导过程不做要求

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在只有重力场的作用下，体积力 $F_x=\rho g_x,F_y=\rho g_y$

①.主流速度 $u_\infty \sim O(1)$ 主流速度比如为10m/s，是一个大量，量级定义为O(1)

②.温度 $t \sim O(1)$ ，无论是壁面温度，流体温度都是大量（工程中冷却或加热，不可能接近0K）

③.平板长度 $l \sim O(1)$ ，平板长度一般都不小

④.边界层厚度 $\delta \sim O(\delta)$ ， $\delta_t \sim O(\delta)$ ,边界层厚度为平板长度的1.8%,括号里面的delta表示小量，这也是边界层厚度的符号用 $\delta$ 表示的原因

①.x相对于l来说是相当， $x \sim l\sim O(1)$ ; $0\leq y\leq \delta,\therefore y\sim O(\delta)$

$O(1),O(\delta)$ 表示数量级1和 $\delta,1>>\delta$ .

u是沿着边界层从0变化到u∞, $u\sim u\infty\sim O(1)$ 是个小量到大量，所以这里体现了不严格的地方

②x方向上u的动量方程,密度 $\rho$ 一般为大量， $\eta$ 为 $O(\delta ^2)$

注意二阶偏导数 $\frac{\partial u^2}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial u}{\partial x})$ ,所以 $\frac{\partial u^2}{\partial x^2}\sim\frac{1}{1^2}$ ,同理 $\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\sim \frac{1}{\delta ^2}$

因此， $\frac{\partial p}{\partial x}必须\sim O(1) \therefore \frac{\partial p}{\partial x}\sim\frac{1}{1}$

同样的道理， $\eta$ 乘以一个 $\frac{1}{\delta ^2}$ 的量为O(1)，因此 $\eta \sim \delta^2$

观察 $\delta^2 \frac{1}{1^2}$ 是一个小量，因此上面的式子可以简化一项

分析上面的量级关系，同样由于平衡，等式左边是 $O(\delta)$ 量级，所以 $\frac{\partial p}{\partial y}$ 也为 $O(\delta)$ 量级，整个方程平衡，都为小量，y方向上的动量守恒方程直接整体省略

④还剩下一个能量方程，空气的比热Cp为1005左右为大量，尽管密度很小，但是 $\rho\cdot c_p$ 为大量

观察上式， $\frac{1}{1^2}$ 远小于 $\frac{1}{\delta ^2}$ ，因此温度随x方向的二阶偏微分可以省略

注意 $\lambda=\rho\cdot a\cdot c_p,a=\frac{\lambda}{\rho c_p}$ ，同时运动粘度 $\nu=\eta /\rho$ ,方程组(3)加入(3.5)变形为如下

方程组有两个形式完全一样,动量传递与热量传递形式相似.再特殊一点， $\nu=a，\delta=\delta_t (Pr=1)$ ，速度场与无量纲的)温度场一样

5.无量纲化：无量纲的坐标X,Y;无量纲的压力；无量纲的速度U,V;无量纲的过余温度 $\Theta$

现在 $U,V,\Theta$ 的分布都是（0，1）,因此速度场接出来就可以类比得到温度场下，然后解除换热系数。