5-QAP问题转换

接下来我们需要考虑如何采用计算机来存储和验证P(x)。我们引入QAP的概念,并且我们可以P(x)转换为QAP问题。QAP(Quadratic Arithmetic Programs)翻译是二次算术程序。

QAP是一种非常适合于计算机进行表达和运算的形式。一个QAP问题包含一系列的算数表达式,这些算数表达式都是具有最多两个输入和一个输出的形式。例如 y=x_1+x_2

扁平化展开

P(x) = x^3+x+5为例,求P(x)=35的解。我们将P(x)按照QAP展开,得到:

  1. sym_1=x*x
  2. sym_2=x*sym_1
  3. sym_3=sym_2+x
  4. out=sym_3+5

这样我们就把一个多项式问题拍扁成了4个算数表达式,并且引入了一些中间变量out, sym_1, sym_2, sym_3。上面这4个表达式,我们称为4个约束条件。我们需要留意的是,这四个约束条件,也可以被理解为4个门电路。

R1CS转换

我们可以建立4组向量(\vec a, \vec b, \vec c)来表达上面的4个约束。\vec s是满足\vec s \cdot \vec a* \vec s \cdot \vec b- \vec s \cdot \vec c=0的解。考虑到上述的4个表达式包含的参数信息,我们令\vec s=(1,x, out, sym_1, sym_2, sym_3)

第一个约束(第一个门电路)

根据第一个约束我们建立第一组向量(\vec a_1, \vec b_1, \vec c_1),转换为x*x-sym_1=0。那么这第一组向量,如何能够满足\vec s \cdot \vec a_1* \vec s \cdot \vec b_1- \vec s \cdot \vec c_1=0呢?这里大部分文章都没有讲清楚。我们在这里细讲一下。

由于s向量是已知的,我们列出以下表格。

\vec s \vec a_1 * \vec s \vec b_1 - \vec s \vec c_1 = 0
1 ? 1 ? 1 ?
x ? x ? x ?
out ? out ? out ?
sym1 ? sym1 ? sym1 ?
sym2 ? sym2 ? sym2 ?
sym3 ? sym3 ? sym3 ?

那我们直接:

\vec a_1的第2个分量为1,其他分量为0;

\vec b_1的第2个分量为1,其他分量为0;

\vec c_1的第4个分量为1,其他分量为0;

也就是:

\vec s \vec a_1 * \vec s \vec b_1 - \vec s \vec c_1 = 0
1 0 1 0 1 0
x 1 x 1 x 0
out 0 out 0 out 0
sym1 0 sym1 0 sym1 1
sym2 0 sym2 0 sym2 0
sym3 0 sym3 0 sym3 0

那么这个方程的计算结果刚好就是x*x-sym_1=0,也就意味着这样的(\vec a_1, \vec b_1, \vec c_1)和解向量是满足第一个约束(门电路)。其中:

\vec a_1 = [0, 1, 0, 0, 0, 0]
\vec b_1 = [0, 1, 0, 0, 0, 0]
\vec c_1 = [0, 0, 0, 1, 0, 0]

第二个约束(第二个门电路)

\vec a_2 = [0, 0, 0, 1, 0, 0]
\vec b_2 = [0, 1, 0, 0, 0, 0]
\vec c_2 = [0, 0, 0, 0, 1, 0]

第三个约束(第三个门电路)

\vec a_3 = [0, 1, 0, 0, 1, 0]
\vec b_3 = [1, 0, 0, 0, 0, 0]
\vec c_3 = [0, 0, 0, 0, 0, 1]

第四个约束(第四个门电路)

\vec a_4 = [5, 0, 0, 0, 0, 1]
\vec b_4 = [1, 0, 0, 0, 0, 0]
\vec c_4 = [0, 0, 1, 0, 0, 0]

汇总

\vec a = \left\{ \begin{matrix} \vec a_1 \\ \vec a_2 \\ \vec a_3 \\ \vec a_4 \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} 0, 1, 0, 0, 0, 0 \\ 0, 0, 0, 1, 0, 0 \\ 0, 1, 0, 0, 1, 0 \\ 5, 0, 0, 0, 0, 1 \end{matrix} \right\}

\vec b = \left\{ \begin{matrix} \vec b_1 \\ \vec b_2 \\ \vec b_3 \\ \vec b_4 \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} 0, 1, 0, 0, 0, 0 \\ 0, 1, 0, 0, 0, 0 \\ 1, 0, 0, 0, 0, 0 \\ 1, 0, 0, 0, 0, 0 \end{matrix} \right\}

\vec c = \left\{ \begin{matrix} \vec c_1 \\ \vec c_2 \\ \vec c_3 \\ \vec c_4 \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} 0, 0, 0, 1, 0, 0 \\ 0, 0, 0, 0, 1, 0 \\ 0, 0, 0, 0, 0, 1 \\ 0, 0, 1, 0, 0, 0 \end{matrix} \right\}

\vec s=(1,x, out, sym_1, sym_2, sym_3)

P(X) = \vec s \cdot \vec a_X* \vec s \cdot \vec b_X- \vec s \cdot \vec c_X=0,则当X=1,2,3,4时,都满足\vec s \cdot \vec a_X* \vec s \cdot \vec b_X- \vec s \cdot \vec c_X=0

也就是说P(X)这个函数必然通过点(1,0), (2,0), (3,0), (4,0),我们不妨设T(X)=(X-1)(X-2)(X-3)(X-4),那么P(X)必然能够多项式整除T(X),设商为H(X),那么也就是P(X)=T(X)*H(X)

到此为止,只需要Bob向Alice提供证据证明存在P(X)整除T(X)即可。在这里我们进行了换元操作,把x替换成了X,我们确保\vec s的形式不变,那么就需要把(\vec a, \vec b, \vec c)向量组进行适当形式的变化。

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