《规模》1:物理学祖师爷的洞见
一个生物体的力量，是和他体重的 2/3 次方成正比。
《规模：关于增长创新可持续的普遍规律和生物体、城市、经济、公司的生命节奏》（Scale: The Universal Laws of Growth, Innovation, Sustainability, and the Pace of Life in Organisms, Cities, Economies, and Companies），作者是英国物理学家杰弗里·韦斯特（Geoffrey West）。
从标题你就能看出来，这是一本跨界的书。这本书妙就妙在，虽然跨了这么多领域，但是背后有一个一致的、甚至可以说是简单的、底层原理。这个底层原理可以用一个简单数学公式表示，而知道怎么应用这个原理，则是物理学家的功夫。
全书最根本的思想，就是世间万事万物，通常都不能按照简单的线性比例放大。
最早提出这个思想的，正是现代物理学的祖师爷，伽利略。早在1638年，伽利略出了一本书叫《关于两门新科学的对话》，其中就讨论了尺度问题。
比如这有一棵树，你可能会问一个自然的问题，这个树能不能按比例越长越高、越长越粗，以至于无限呢？
伽利略不需要知道树的化学成分都是什么，也不需要了解关于树怎么生长的生物学，他就可以告诉你，这是不行的。
你只要学过简单的几何学，就知道树的体积和重量，是跟树的尺寸的立方成正比。而由于同样的材料只能支撑同样的压强，所以树的支撑力量，是由树的横截面面积决定的，这跟树的尺寸的平方成正比。
如果你把树的高度扩大十倍，那么它的体积和重量将会扩大到原来的一千倍，而它的力量只会变成原来的一百倍。也就是说，它要用一百倍的力量去承担一千倍的重量，它的负担更重了。这么一直长下去，早晚有一个时候，树将会承担不了它自身的重量。
所以你不能按相同比例放大。一般特别重的生物，腿就必须得不成比例地特别粗才行。伽利略早在四百年前就想明白了这个道理，但是一直到今天这个道理也没有普及开来。
电影《哥斯拉》，哥斯拉是一只很大很大的怪兽，它一只脚的高度就超过了一个大楼。
因为韦斯特用尺度分析研究生物体已经出名了，《哥斯拉》美国版电影上映的时候，有记者就问韦斯特，你能不能推测一下哥斯拉的移动速度应该是多少 —— 韦斯特说，别的都不用算了，首先这么大动物就不应该存在，因为它会被自己的体重压垮！
尺度分析是个看似很简单的武器。但是韦斯特的研究和他这本书，则把这个武器给用到了极致，可以说是大杀四方。为了理解这一切，把数学给说清楚。
1.数学
当年霍金写《时间简史》的时候，出版商跟他说，你书里每出现一个数学公式，都会让销量减少一半。结果现在不出现公式已经成了英文世界通俗科学写作的一个约定俗成的规矩。
可是这本书不用公式不行啊。韦斯特的做法是不直接给公式，但是他用语言去描写公式 —— 结果反而还不容易说清楚。所以干脆反其道而行之，先来看个公式。不需要勇气就能看懂下面这个公式，连初中生都能看懂 ——
Y 等于 c 乘以 X 的 k 次方。其中 c 是一个不重要的常数，这个公式是说，Y 和 X 的 k 次方成正比。物理学家有时候会把这个说法写成更简洁的形式 ——
这就是贯穿全书的公式，物理学家把它称之为“标度率”。其中这个作为幂律的 k，决定了整个系统的性质。
如果 k=1，那就是线性关系，你可以按照简单比例放大，X 增大一倍，Y 也增大一倍。如果 k＞1，就叫做“超线性”关系，英文叫 superlinear；如果 k＜1，就叫“次线性”关系，英文叫 sublinear。
这基本上就是你在这本书里需要的全部数学。
举个例子。面积是跟长度的平方成正比，体积是跟长度的立方成正比，那么你就可以推导出来，面积是跟重量的2/3次方成正比。而对生物体来说，我们又知道，它的重量是跟体积成正比，而力量是跟面积成正比，对吧？那也就是说，一个生物体的力量，是和他体重的 2/3 次方成正比。k=2/3。
而这是可以验证的！化学家利兹克（M. H. Lietzke），就用1956年奥运会举重比赛的成绩，验证了伽利略当年提出的这个尺度关系。
举重比赛是按照体重分级。利兹克把每个级别的金牌成绩和运动员的体重放在一起，画了一张图。这张图，是用对数坐标来画的。
为了理解这张图，还是回到刚才那个公式。对公式两边取个对数，就是
这意味着在对数坐标图上，Y 和 X 的关系曲线应该是一条直线，而这个直线的斜率就是 k。这正是利兹克看到的！
体重和成绩的对数关系正好就是一个近似的直线。利兹克算出来这个直线的斜率是0.675，而理论值 2/3 = 0.667，非常，非常接近。奥运会举重比赛的成绩几乎完美地符合力量正比于体重的2/3次方这个定律。
因为这个定律中的 k=2/3 是小于 1 的，所以相对于体重的增长，力量的增长速度是比较慢的。这就意味着越小的东西反而看上去越有力量。
蚂蚁非常小，但是它可以背起来比它自身体重重很多的东西。小昆虫小蜜蜂的活动频率远远高于人类。伽利略当时就说了，一个小狗能背起来两三只跟它同样重量的小狗，但是一匹马，就不能驮起来一匹跟它同样重量的马。
作为孩子家长我对此深有体会。大人已经很累了，孩子们仍然在不知疲惫地跑来跑去。这并不是说我们应该向孩子学习什么“积极向上的精神”……根本原因在于小孩体重轻，他们的相对力量更强。
2.为什么要造大船
以前的人造船只是胡乱摸索，一直到一个英国工程师叫布鲁内尔（Brunel），考虑了尺度分析，才意识到应该尽可能地造大船。
布鲁内尔是这么想的。船的载货能力是体积决定的，跟船的尺寸的立方成正比。但是船在水面上受到水的拖曳力，则是跟船底的面积成正比。这也就是说，船要克服的航行阻力，是跟船的载重量的2/3次方成正比 —— 如果你能把载重量扩大到10倍，你需要的动力只要是原来的4.6倍就可以了。
船越大，每一吨载重量需要的动力就越低。这是最基本的规模经济！这就是为什么现在货轮和油轮都是尽可能地往大了造，越大越好。简单的尺度分析，就能告诉你这个道理。
当然大船的工程力学跟小船很不一样，一开始人们并不知道怎么造大船。后来人们发现，船在水里的运动特征，是由所谓“弗劳德数（Fr）”决定。把公式写出来，
其中 U 是船速，g 是重力加速度，L 是特征长度。这个公式有啥用呢？有了它，你就可以在水槽里研究大船。你可以先做一个模型，而公式告诉你，你模拟的船速，应该跟模型尺寸的平方根，也就是1/2次方成正比。也就是说，你要模拟一条700英尺长、航速是20节的船，那你只需要做一个10英尺长，航速是2.5节的模型，就可以在实验室里研究了。风洞实验就是这个原理。这还是尺度分析。
3.剂量和体重
如果你家有小孩，你会注意到小孩吃的药，说明书上给的剂量，都是由体重来决定的。如果你仔细看，你会发现建议的剂量往往是跟体重成正比。
韦斯特不是医生，但是韦斯特告诉我们，所有这些煞有其事的剂量指导，都是错的。药物剂量根本就不应该跟体重成正比。
韦斯特是这么考虑的。药物剂量应该由新陈代谢决定，而如果你考虑到生物体的能量网络传播，新陈代谢是跟生物的面积而不是体积成正比。也就是说，药物剂量应该跟体重的2/3次方成正比。
那韦斯特说的有道理吗？比生物学家可是有道理多了。
LSD 是一种致幻剂，算是一种毒品。1962年，有人想研究 LSD 对大象的影响。他们要给大象注射 LSD，但是不知道该给多少剂量。
当时已知，猫使用 LSD 的安全剂量是0.1毫克，而猫体重是1公斤。大象的体重是3000公斤，研究者认为剂量应该跟体重成正比，就决定给大象注射300毫克 LSD。结果只过了一个多小时，大象就死了。
这个研究居然发表在了顶级期刊《科学》（Science）上。在韦斯特看来这是一个非常愚蠢的错误。使用 k=2/3 的标度率，大象的安全剂量应该是21毫克！
所以我就想，给儿童用的那些药的剂量表，该有多么不靠谱。好在医学是个不准确的学科，感冒药到底应该吃多少，其实差几毫升没什么大关系。k=2/3 的剂量指导只是韦斯特的一个推测，现在还没有更准确的理论 —— 而我们看到，这个理论已经比生物学家心目中那个简单正比关系强太多了。
***
你是不是感觉见识了数学的厉害。小学生学数学，各种场景稍微变一下，公式还是那个公式，这就是数学应用题。那什么叫物理呢？物理是在一个完全不同的领域，场景已经变化很大了，但是你还能看出来它背后有一个相同的数学规律。这个发现内在数学机制的洞见，就是物理学。
从四百年前伽利略的一个洞见开始，标度率可以用在建筑物上，可以用在船上，可以用在人体上。然后你把奥运会举重冠军成绩拿过来一画图，跟伽利略的洞见严丝合缝。
这就是为什么物理学家总是这么牛气。你感觉整个世界的规律简直是尽在掌握。这也是为什么，物理学能吸引这么多人愿意为它献出青春和终身。
《规模》2:身体里的分形
1. 分形结构，就是你把这个东西的局部放大，发现它和它的整体很相似，再找个局部再放大，又跟刚才很相似，可以这么一直下去，也就是“自相似”。
2. 生物体内的能量输送网络——对哺乳动物来说是血管、对植物来说是叶脉——是个分形结构。
1.生物学的神秘数字，“4”
生物学里有个概念叫“基础代谢率”，意思是维持一个生命体所需的最低能量消耗。比如说一个人，他一天除了吃饭什么都不做，把能量消耗降到最低，那么他要维持生命，需要摄入的食物热量，大概是2000卡路里，这就是人的基础代谢率。这个能耗相当低，也就相当于一个90瓦的灯泡。
生物学家考察了不同大小的各种生物，发现它们的基础代谢率基本上只和体重有关。第一个把这件事做系统研究的是生理学家马克思·克莱博（Max kleiber），他在1932年发了一篇论文，发现生物的基础代谢率，和体重的3/4次方成正比。
后人又陆续调查了各种生物的基础代谢率，从最小的单细胞生物和细菌，到最大的大象和鲸鱼，身体大小横跨27个数量级 ——也就是说其中最大的生物的体重是最小生物的10^27倍—— 结果，它们都满足这个 k=3/4 的标度率。
下面这张图，是其中一部分结果 ——
在对数坐标图上，各种动物大致排成一条直线。这条直线的斜率是3/4：基础代谢率正比于体重的3/4次方。
大象体重是老鼠的一万倍，而大象的基础代谢率只有老鼠的一千倍。说白了，就是体重轻的动物吃很多东西但是不长肉；体重重的动物，它单位体重的能耗，反而更低。
后来生物学家又发现了好几十个类似的标度率，比如说 ——
* 脑容量跟体重的3/4次方成正比 —— 体重越重，脑子越大，但是体重长得比脑子快；
* 心率跟体重的 -1/4次方成正比 —— 体重越重，心率越慢；
* 寿命跟体重的1/4次方成正比 —— 体重越重，寿命越高……
等等。总而言之就是什么都是体重决定的（幸好智商不*完全*是体重决定的），你只要告诉科学家这种动物的典型体重是多少，韦斯特就能告诉你它的生长速度、寿命、各种速度大概是多少。
所以你要幻想一个什么怪兽不能随便幻想。冥冥之中，生物界有这么一些定数。
但是问题来了。3/4也好，1/4也好，这些数字都是怎么来的呢？为什么分母都有一个“4”呢？多年以来，生物学家只是通过统计方法得知有这些标度率，但是没有人知道为什么会是这样。
结果是物理学家韦斯特出手，跟两个生物学家合作，把这个问题解决了。
其实前面说的各种指标互相之间都有联系，所以你只要能解释其中一个4，你就解释了所有的4。那这一个4是从哪来的呢？
上一讲中用到了很多 k=2/3 的标度率，其中那个3是怎么来的很清楚 —— 因为空间是3维的、体积是长度的立方，对吧？那生物体的标度率既然有个4，是不是说，生物体之中，有什么东西是4维的呢？
没错，3维空间中，也会有4维的东西！这就是分形。
2.分形的维度
作为科学爱好者，你肯定早就听说过“分形”了。简单地说，分形结构，就是你把这个东西的局部放大，发现它和它的整体很相似，再找个局部再放大，又跟刚才很相似，可以这么一直下去，也就是“自相似”。像海岸线、树杈、树叶都具有分形的特点。下面是一片叶子 ——
从中选择一个局部（红框）放大，也像是一片叶子。再来看一个抽象但是严格的分形 ——
这条想象中的曲线任何一部分都是一样的形状，不管你怎么放大都可以。这个曲线叫做“科赫曲线（Koch curve）”，它的生成方法下面这样的 ——
先取一条直线，把它三等分，然后在中间的线段向外突出一个三角形。然后再对新的每一条边做这个操作，以此类推，以至于无穷。
好，这就是最基本的分形概念。现在我们要做的是测量分形的“维度”。为此，先看看“正常”形状的维度是怎么算的。
看下面这个示意图。把一条线段2等分，你就得到两条线段。把一个正方形的边2等分，你就得到4个正方形。把一个立方体的边2等分，你就得到8个立方体。其中的4和8，分别是2的2次方和2的3次方。—— 这个“2次”和“3次”，就是正方形和立方体的“维度”。
现在咱们把这个概念推广一下。以此类推，如果你把一个东西的边，分成 r 等分，你就得到了 N 个小东西，然后
那么这个 D，就是维度。正方形，D=2，说明是2维的；立方体，D=3，是3维的。那反过来，取个对数，我们也可以说
这就是计算任何图形的维度的公式。那咱们来算算前面那个科赫曲线的维度是多少。注意，这不是一条平常的曲线，这是一条想象中的、细节无限可分的曲线。
按照最基本长度的1/3为一段分段，横向分3段的话，这条曲线的长度是4段，相当于上图中第二条曲线。按照1/9的长度分段9段，曲线的长度是16段，以此类推。也就是说，r=3, 则 N=4；r=9，则 N =16，……注意r和N的变化是这么一直以乘方的形式变，而取对数再做除法，所有的乘方就都被消除了，所以维度永远都是
这就是分形特殊的数学性质！一般的线都是1维的。科赫曲线明明是一条线，但因为它是一条特殊的、中间有无限细节的线，它居然不是1维，而是1.26维！
这个结果就是说，分形，可以增加维度 —— 出现了分数维，所以才叫“分”形。
好，那再看一个更特殊的情况。把科赫曲线中那个三角形的夹角无限地缩小，以至于变成中间突出的一条线段，这么一直分形下去是什么结果呢？是下面第四个图的样子 ——
这条特殊的科赫曲线布满了它所在区域范围内的整个平面！相应的维度 = 2。也就是说，它已经不再是“线”了，它已经变成了一个“面”！
当你把一条线铺满整个平面的时候，它就多出来了整整一个维度。这是今天分形告诉我们的最重要消息。
3.血管是个分形结构
韦斯特的关键思想，就是生物体内的能量输送网络 —— 对哺乳动物来说是血管、对植物来说是叶脉、等等 —— 是个分形结构。
具体细节就不讲了，大致总结一下韦斯特和合作者的思路。首先，不管是多大的哺乳动物，它的血管都必须满足以下这三个条件 ——
第一，血管要填充身体内的每个地方。这是因为每个细胞都需要氧气和血液。从心脏出来是很粗的主动脉，到终端，则是遍布全身的毛细血管。
第二，不管是多大的动物，终端毛细血管的尺寸都几乎是一样大的。这是因为不同生物体的细胞是差不多同样大的。这就好比说城市不管多大、你家住的楼不管多高，进入你家的网络终端的插座，都是一样大的。
第三，血管在身体中的布局，应该已经是最优化的。这是进化的功劳。每个动物的血管都既要给全身充分供血，又不能扭来扭去走很多弯路，得让心脏用最小的动能，就能把血液输送到每个毛细血管终端。
看着三个条件，表面上说的是血管，其实全都是数学，你可以把它想象成任何一个遍布系统的管道，原理是通用的。
好，根据这三个限制，就可以推导出血管的一些性质。
一个性质是每当血管要分叉、也就是一分为二的时候，两根支线血管的横截面积之和要正好等于干线血管的面积。这是因为如果不相等，血液流动就会有反弹力，就有能量损失，就不是最优化了。不仅仅是血管，植物的茎、树干也是这样，而且这个现象连达·芬奇居然都观察到了。
如果每次分叉时两个支线血管是一样大的，干线血管的半径应该就是支线的√2倍。
不过对毛细血管来说，因为已经感觉不到心脏跳动的波动，出于某个流体力学的原因，主干毛细血管的半径是分支毛细血管半径的2^(1/3)倍。
第二个性质是为了让血管铺满整个身体，每次分叉的时候，支线的长度要越来越短 —— 干线的长度是支线长度的√2倍，这也是数学优化的结果。
根据前面这两个性质，特别考虑毛细血管，再考虑到血液总量应该和体重成正比，整个标度率就可以推导出来了。具体的计算细节韦斯特没在书里写咱们也不用管，因为韦斯特还有一个更直观的解释。
考虑到前面两个性质，血管其实是一个分形结构。每一次分叉，干线血管看支线血管，就好像下一次分叉时这个支线血管看它的支线血管一样。
这么一直分形到终端，毛细血管要*布满*全身所有地方。这一布满，就意味着这个分形是整整多出来了一个维度 —— 和前面我们说的那条布满平面的线一样。原本3维的血管，因为分形结构，实际上相当于是4维的了。
血管分形结构的维度是4。4就是这么来的。
如果忽略所有细节，今天的内容你只需要记住两点：
1. 生物体有各种标度率，而这些标度率的指数都有一个分母4。
2. 这些标度率，是因为生物体内输送能量的管道网络，比如说血管，是个分形结构。
经常说这个是分形、那个是分形，很少有人问自然界的分形结构都是怎么产生的 —— 连分形理论的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）似乎都不关心 —— 人们好像只是在欣赏分形图案。韦斯特这个理论，才算是找到了产生分形的一个机制，而且还让分形数学有了具体的应用！
有了这些知识，我们就可以进一步了解人的生长和寿命限制了。
