GENFIRE：三维有限角度成像的广义傅立叶迭代重建算法
三维CT不完全成像一般分为稀疏角度和有限角度成像，稀疏角度可认为是0-180度内均匀采集投影，但数据量少，有限角度则是存在一定范围内missing angle的问题。
2017年UCLA的Jianwei Miao课题组[2]发表了利用实空间和倒空间的双重限制及重建后通过反投影进行角度修正的算法GENFIRE，该算法思想简单却又不乏亮点。
一、重建步骤
1.1 使用过采样来对3D傅立叶坐标赋值
根据傅立叶中心切片定理，傅立叶变换的每个2D投影表示为通过3D物体傅立叶变换原点的平面切片，GENFIRE用测量的2D投影做傅里叶变换然后赋值给3D傅立叶矩形。实质为二维傅里叶变换。
1.2实空间和导空间的约束迭代
GENFIRE首先从倾斜的一系列2D实验投影计算过采样傅立叶切片，基于网格插值，过采样傅立叶切片用于精确计算3D笛卡尔坐标系上的一小部分点，因为GENFIRE对初始输入值不是非常敏感，所以其他未知点都可赋值为零。然后该算法在实空间和倒数空间之间迭代，support和非负约束在实空间中实施，而与测量数据傅里叶变换后相对应的小部分网格点在导空间中实施。错误度量用于监视迭代过程的收敛。在几百次迭代之后，算法收敛到3D结构，该3D结构与倒数空间中的测量数据和真实空间中的物理约束同时一致。
Highlight：在GENFIRE包中，还有一个使用分辨率扩展/抑制的选项。对于实验数据，信噪比随着空间频率的增加而降低。为了补偿高空间频率下的高噪声水平，通过简单修改傅立叶约束的方式来部分地解耦信号和噪声。对第一次迭代，仅强制执行最低空间频率信息，随着迭代的进行，逐渐应用更高的空间频率数据，继续扩展步骤，直到完成迭代总数的一半时强制执行所有测量数据。然后在重建的后半部分逆转该过程，并且逐渐减小强制数据的空间分辨率以形成抑制步骤，直到最后的迭代时再次仅约束最低频率信息。
1.3寻找最优投影角度
实验测量的倾斜角可能并不总是与投影的真实方向一致。为了减少倾斜角度误差，实现高分辨率3D重建，角度细化程序包括以下四个步骤：
二、Simulation
不同与其他模拟获得投影数据是通过Radon变换，此文献通过针对给定角度计算3D模型的2D傅立叶切片，然后通过逆FFT来计算相应的实空间投影。接着计算了71个投影，其倾斜角度范围为-70.1°至+ 70.1°，噪声被添加到投影中。使用GENFIRE，EST，FBP和SIRT重建每组投影。使用松散支持，积极性约束和250次迭代进行EST和GENFIRE重建。SIRT重建是通过积极性约束，长对象补偿和125次迭代实现的。
沿着缺失的楔形方向，GENFIRE和EST重建（图 2e，f，h和i）似乎更加各向同性并且包含比FBP和SIRT更精细的特征。在具有相等倾斜角的无噪声数据的情况下，EST产生比GENFIRE略好的结果，因为在EST中不需要插值。然而，在实践中，这种理想情况不会发生，结果表明，即使是中等噪音水平，GENFIRE也能产生更好的效果。
四、总结
作为一种基于傅立叶的迭代方法，GENFIRE首先使用傅立叶网格和过采样从2D投影中高精度地计算一小部分笛卡尔网格点，其中适当选择过采样率对于精确计算小部分网格点至关重要。然后，它使用FFT及其逆变换在实空间和倒数空间互相进行迭代。在实空间中实施非负和support，而根据测量数据计算的网格点应用于导空间。作为傅立叶数据，非负和support都是凸约束集，所以GENFIRE属于凸集上的投影方法，而其收敛性已经过数学证明。这允许GENFIRE搜索与测量数据和物理约束同时一致时的全局解。
基于傅立叶的迭代算法（如GENFIRE）的独特特征之一是，实空间中的任何变化都会影响导空间中的所有点，反之亦然。实空间和导空间的这种全局关联使得GENFIRE对丢失的数据和丢失的楔形具有鲁棒性。相比之下，ART，SART和SIRT通过局部插值在现实空间中执行所有迭代。当缺少楔形时，该区域中的局部插值变得不太准确。这解释了为什么GENFIRE比其他几种层析算法实现更好的3D重建。
与仅适用于单倾斜轴数据的EST相比，GENFIRE不仅可以处理任何断层几何，而且由于使用FFT及其反演进行迭代，因此执行速度更快。但必GENFIRE用户必须了解获取图像的条件对投影线性的物理影响。尽管由于断层摄影中的旋转平均值可以减轻诸如动态散射的非线性效应，这种非线性效应降低GENFIRE的确切程度需要在未来的工作中加以探索。
而基于压缩感知测断层摄影重建方法目前正在迅速发展。如果可以找到稀疏域，则原则上可以从少量2D投影重建3D结构。压缩感测断层摄影术通常包括数学正则化，例如总变差最小化，其需要手动调节参数。这在某些应用中是可接受的，其中重建目标的范围足够有限以允许一组专门的参数。然而，对于一般的断层摄影重建，优化这些参数并不是直截了当的，尤其是在存在丢失的数据和噪声的情况下。例如，对于压缩感测断层摄影来重建结晶样本中的点缺陷的3D分布，即使不是不可能，也将是非常具有挑战性的。相反，GENFIRE使用非常一般的物理约束，并且需要最少的手动调整参数。最近已经用来确定晶体缺陷如晶界，化学有序/无序，抗相边界和点缺陷。此外，GENFIRE可以很容易地适用于结合数学正则化来从少量投影重建3D稀疏对象。
[1]杨富强,张定华,黄魁东,王鹍,徐哲.CT不完全投影数据重建算法综述[J].物理学报,2014,63(05):9-20.
[2]Pryor A , Yang Y , Rana A , et al. GENFIRE: A generalized Fourier iterative reconstruction algorithm for high-resolution 3D imaging[J]. Microscopy and Microanalysis, 2017, 23(S1).
