4. 寻找两个有序数组的中位数
4. 寻找两个有序数组的中位数
给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。
请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。
你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。
示例 1:
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
则中位数是 2.0
示例 2:
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5
切题
一、Clarification
1、明确题目
两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2
中位数:将一个集合划分为两个长度相等的子集，其中一个子集中的元素总是大于另一个子集中的元素。
时间复杂度为 O(log(m + n))。
二、Possible Solution
两个大小为 m 和 n 的有序数组 A、B
假设m<n,len(A)<len(B)
A中任一位置 i 将 A 划分成两个部分：
| left_A | right_A |
|---|---|
| A[0], A[1], ..., A[i-1] | A[i], A[i+1], ..., A[m-1] |
B中任一位置 j 将 B 划分成两个部分：
| left_B | right_B |
|---|---|
| B[0], B[1], ..., B[j-1] | B[j], B[j+1], ..., B[n-1] |
将A，B看成一个整体，将left_A和left_B放入一个集合，将right_A和right_B放入另一个集合。两个新的集合分别命名为 **left_part **和 right_part。
| left_part | right_part |
|---|---|
| A[0], A[1], ..., A[i-1] | A[i], A[i+1], ..., A[m-1] |
| B[0], B[1], ..., B[j-1] | B[j], B[j+1], ..., B[n-1] |
如果满足
len(left_part)=len(right_part)
max(left_part) <= min(right_part)
那么，我们已经将 {A,B} 中的所有元素划分为相同长度的两个部分，那么中位数就为：
len(left_part)=len(right_part) 那么：
当m+n为奇数时，为了确保中位数落在left_part中便于后续处理，这里可为
max(left_part) <= min(right_part)那么：
注意边界情况：
max_of_left 为左边最大值，min_of_right 为右边最小值
i == 0 时 : max_of_left = B[j-1]
j == 0 时 : max_of_left = A[i-1]
i == m 时 : min_of_right = B[j]
j == n 时 : min_of_right = A[i]
我们需要做的是：
由于数组是有序的并且要求时间复杂度为 O(log(m + n))可以容易想到二分查找的方法，不过处理复杂点：
1、设 imin=0，imax=m, 然后开始在 [imin,imax] 中进行搜索。
2、那么
3、len(left_part)=len(right_part)会遇到三种情况：
- 情况一：B[j−1]≤A[i] 且A[i−1]≤B[j]：
这意味着我们找到了目标对象 i，可以停止搜索。 - 情况二：B[j−1]>A[i]，i<m：
这意味着 A[i] 太小，我们必须增大 i 以使 B[j−1]≤A[i]，也就是在[ i+1,imax]中进行搜索 - 情况三：A[i−1]>B[j]， i>0：
这意味着 A[i−1] 太大，我们必须减小 i 以使 A[i−1]≤B[j]。也就是在[imin,i+1]中进行搜索
注意当找到目标对象 i 时，中位数需要根据m+n的奇偶来取值：
Python3
二分查找方法
# @author:leacoder
# @des: 二分查找变式 寻找两个有序数组的中位数
# 什么是中位数：将一个集合划分为两个长度相等的子集，其中一个子集中的元素总是大于另一个子集中的元素。
class Solution:
def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
# 确保 m < n 便于后续处理
m, n = len(nums1), len(nums2)
if m > n: # 如果大于了 交换 nums1 与 nums2
nums1, nums2, m, n = nums2, nums1, n, m
if n == 0:
raise ValueError
# 确保 m < n end
imin, imax, half_len = 0, m, (m + n + 1) / 2
while imin <= imax:
i = int((imin + imax) / 2)
j = int(half_len - i) # 确保中位数落在左边
if i < m and nums2[j-1] > nums1[i]: # 情况二：
# i 太小
imin = i + 1
elif i > 0 and nums1[i-1] > nums2[j]: # 情况三：
# i 太大
imax = i - 1
else: # 情况一：
# i 满足要求，但有些边界需注意
if i == 0: max_of_left = nums2[j-1]
elif j == 0: max_of_left = nums1[i-1]
else: max_of_left = max(nums1[i-1], nums2[j-1])
if (m + n) % 2 == 1: # m + n 为奇数
return max_of_left
if i == m: min_of_right = nums2[j]
elif j == n: min_of_right = nums1[i]
else: min_of_right = min(nums1[i], nums2[j])
return (max_of_left + min_of_right) / 2.0 #m + n 为偶数时
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