引言

上一小节中，我们介绍了过拟合的概念，在机器学习中最大的危险就是过拟合，为了解决过拟合问题，通常有两种办法，第一是减少样本的特征（即维度），第二就是我们这里要说的“正则化”（又称为“惩罚”,penalty）。

从多项式变换和线性回归说起

在非线性变换小节中，我们有讨论Q次多项式变换的定义和其包含关系，这里如果是10次多项式变换，那么系数的个数是11个，而2次多项式的系数个数是3。从中我们可以看出，所有的2次多项式其实是10次多项式加上一些限制，即w3=w4=...=w10=0。

基于上面的讨论，我们希望能将二次多项式表示成十次多项式再加上一些约束条件，这一步的目的是希望能拓宽一下视野，在推导后面的问题的时候能容易一些。
这个过程，我们首先要将二次多项式的系数w拓展到11维空间，加上w3=w4=...=w10=0这个条件得到假设集合H2；然后为了进一步化简，我们可以将这个条件设置的宽松一点，即任意的8个wi为0，只要其中有三个系数不为0就行，得到一组新的假设空间H2'，但这个问题的求解是一个NP-hard的问题，还需要我们修正一下；最后，我们还需要将这个约束条件进一步修正一下得到假设集合H(C)，给系数的平方的加和指定一个上限，这个假设集合H(C)和H2'是有重合部分的，但不相等。
最后，我们把H(C)所代表的假设集合称为正则化的假设集合。
下图表示了这个约束条件的变化：

正则化的回归问题的矩阵形式

由上图所示，我们现在要求解的是在一定约束条件下求解最佳化问题，求解这个问题可以用下面的图形来描述。

本来要求解Ein的梯度，相当于在一个椭圆蓝色圈中求解梯度为零的点，而下面这个图表示，系数w在半径是根号C的红色球里面（w需要满足的约束条件），求解蓝色区域使得梯度最小的点。
那么，最优解发生在梯度的反方向和w的法向量是平行的，即梯度在限制条件下不能再减小。我们可以用拉格朗日乘数的方法来求解这个w。

Ridge Regression

Ridge Regression是利用线性回归的矩阵形式来求解方程，得到最佳解。

Augmented Error

我们要求解这个梯度加上w等于0的问题，等同于求解最小的Augmented Error，其中wTw这项被称为regularizer(正则项)。我们通过求解Augmented Error，Eaug(w)来得到回归的系数Wreg。这其实就是说，如果没有正则项的时候(λ=0)，我们是求解最小的Ein问题，而现在有了一个正则项(λ>0)，那么就是求解最小的Eaug的问题了。

不同的λ造成的结果

从上图可以看出，当λ=0的时候就会发生过拟合的问题，当λ很小时(λ=0.0001)，结果很接近理想的情况，如果λ很大(λ=1),会发生欠拟合的现象。所以加一点正则化(λ很小)就可以做到效果很好。

正则化和VC理论

我们要解一个受限的训练误差Ein的问题，我们将这个问题简化成Augmented Error的问题来求解最小的Eaug。
原始的问题对应的是VC的保证是Eout要比Ein加上复杂度的惩罚项(penalty of complexity)要小。而求解Eaug是间接地做到VC Bound，并没有真正的限制在H(C)中。

wTw可以看成是一个假设的复杂度，而VC Bound的Ω(H)代表的是整个假设集合有多么的复杂（或者说有多少种选择）。
这两个问题都好像是计算一个问题的复杂度，我们该怎么联系着两种复杂度的表示方式呢？其理解是，一个单独的很复杂的多项式可以看做在一类很复杂的假设集合中，所以Eaug可以看做是Eout的一个代理人(proxy)，这其实是我们运用一个比原来的Ein更好一点点代理人Eaug来贴近好的Eout。

一般性的正则项

L1 Regularizer

L1 Regularizer是用w的一范数来算，该形式是凸函数，但不是处处可微分的，所以它的最佳化问题会相对难解一些。
L1 Regularizer的最佳解常常出现在顶点上（顶点上的w只有很少的元素是非零的，所以也被称为稀疏解sparse solution），这样在计算过程中会比较快。

L2 Regularizer

L2 Regularizer是凸函数，平滑可微分，所以其最佳化问题是好求解的。

最优的λ

噪声越多，λ应该越大。由于噪声是未知的，所以做选择很重要，我将在下一小节中继续接受有关参数λ选择的问题。

总结

过拟合表现在训练数据上的误差非常小，而在测试数据上误差反而增大。其原因一般是模型过于复杂，过分得去拟合数据的噪声和异常点。正则化则是对模型参数添加先验，使得模型复杂度较小，对于噪声以及outliers的输入扰动相对较小。
正则化符合奥卡姆剃刀原理，在所有可能选择的模型，能够很好的解释已知数据并且十分简单才是最好的模型，也就是应该选择的模型。从贝叶斯估计的角度看，正则化项对应于模型的先验概率，可以假设复杂的模型有较小的先验概率，简单的模型有较大的先验概率。

参考资料

机器学习中的范数规则化之（一）L0、L1与L2范数
机器学习中的范数规则化之（二）核范数与规则项参数选择

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