线性代数系列：等价矩阵和矩阵的初等变换

关键词：线性代数，等价矩阵

内容摘要

等价矩阵和矩阵初等变换
等价矩阵未知数方程求解

等价矩阵

若矩阵A和矩阵B等价，则①R(A)=R(B)（充要条件），②矩阵A可以通过一些列的初等行/列变换，转化为矩阵B（充要条件）。
初等变换不会改变矩阵的“信息量”，只是对已有信息（行或列向量）进行重新组合或缩放，因此如果矩阵A经过一系列初等变换转化为矩阵B，那么矩阵A和矩阵B等价。

初等行/列变换

以初等行变换为例，以下操作称为初等行变换：
1.交换：将两行进行交换。
2.放缩：将某行乘以某个倍数。
3.相加减：将某行乘以某个倍数，再加到另一行上。

初等行/列变换的代数表示

初等行变换通过初等矩阵左/右乘原矩阵实现，左成对行做影响，右成对列做影响。初等矩阵以单位矩阵E为基础，在E的基础上做一定的修改而来，一般用E_ij(n)来表示，以左乘为例：
E₁₂：将第1行和第2行交换
E₁(3)：将第1行乘以3倍
E₁₂(3)：将第1行乘以3倍加在第2行上

交换初等矩阵的表示

将单位矩阵E的主对角线上的1的位置直接交换即可，例如2阶方阵
$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c & d \\ a & b \end{bmatrix}$

目标是将第一行和第二行交换，则将主对角线上的第一行1和第二行1交换到对应所在行的目标位置即可。再比如3阶方阵将欢第1行和第2行

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d & e & f \\ a & b & c \\ g & h & i \end{bmatrix}$

此时用左乘E₁₂来表示这个初等矩阵

$E_{ij} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

放缩初等矩阵的表示

哪一行/列要做放缩，就将单位矩阵E的主对角线上对应行/列的1乘以该放缩倍数即可，例如2阶方阵

$\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3a & 3b \\ c & d \end{bmatrix}$

同理如果是3阶方阵

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 3g & 3h & 3i \end{bmatrix}$

此时用左乘E₁(3)来表示这个初等矩阵
$E_{1}(3) = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

相加减初等矩阵的表示

以左乘为例，要将第i行的n倍加在第j行上，则单位矩阵E的第j行的第i个元素（该元素为0）替换为对应的倍数n即可，例如2阶方阵，将第1行的3倍加在第2行上
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c+3a & d+3b \end{bmatrix}$

同理以3阶方阵为例，将第3行自身放大3倍，再用第2行的2倍加上第三行
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 3g+2d & 3h+2e & 3i+2f \end{bmatrix}$

此时用左乘E₁₂(3)来表示这个初等矩阵

$E_{12}(3) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$

例题1

设矩阵
$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & a \end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(1) 当 $a$ 为何值时，矩阵 $A$ 和 $B$ 等价
(2) 当 $A$ 和 $B$ 等价时，求一个可逆矩阵 $P$ ，使得 $PA=B$

(1) 解:
当 $A$ 和 $B$ 等价时，有 $R(A)=R(B)=2$ 。
求 $A$ 的行列式，得：
$-a - 4 = 0 \implies a = -4$

(2) 解:
当 $a = -4$ 时，
$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -4 \end{bmatrix}$

对 $A$ 做初等行变换：
1. 将第一行加在第二行，即左乘 $E_{12}(1)$ ：
$E_{12}(1)A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -4 \end{bmatrix}$

2. 再将第2行乘2倍加在第3行上，即左乘 $E_{23}(2)$ ：
$E_{23}(2)E_{12}(1)A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

因此 $P = E_{23}(2)E_{12}(1)$ ：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

等价矩阵未知数方程求解

此类题给定两个矩阵，矩阵中有元素为未知数，求未知数为什么条件时两矩阵等价/不等价，此类题目用秩来判断，因为秩相等是像个矩阵等价的充要条件。

例题2 2016年数学二真题14

设矩阵
$\begin{bmatrix} a & -1 & -1 \\ -1 & a & -1 \\ -1 & -1 & a \end{bmatrix}$
与
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
等价，则 $a = \_\_$

解:
因为 A 和 B 等价，因此 $R(A) = R(B)$ 。

对 B 做初等行变换：
$B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

所以 $R(B) = 2$ 。

因此 $R(A) = 2$ ，即 A 不满秩，所以 $\det(A) = 0$ 。

求 A 的行列式：
$|A| = \left| \begin{array}{ccc} a & -1 & -1 \\ -1 & a & -1 \\ -1 & -1 & a \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} a-2 & -1 & -1 \\ a-2 & a & -1 \\ a-2 & -1 & a \end{array} \right| = (a-2) \left| \begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ 1 & a & -1 \\ 1 & -1 & a \end{array} \right| = (a-2) \left| \begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ 0 & a+1 & 0 \\ 0 & 0 & a+1 \end{array} \right| = (a-2)(a+1)^2 = 0$

解得 $a = 2$ 或 $a = -1$ 。

将 $a = -1$ 代入矩阵 A，其秩为 1，不符合 $R(A) = 2$ ，故排除。

因此，答案为 $a = 2$ 。

例题3

已知矩阵
$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2 \\ \end{bmatrix} \quad \text{和} \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & a \\ -1 & a & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ \end{bmatrix}$
不等价，则 $a = \_\_$ 。

解:
此题为不等价，还是当作等价求解，最后排除等价的情况即可。
矩阵 $A$ 的行变换过程：

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2 \\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & a \\ 0 & 0 & a^2 - 2a - 3 \\ \end{bmatrix}$

矩阵 $B$ 的行变换过程：

$B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & a \\ -1 & a & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & a \\ 0 & 1+a & 1+a \\ 0 & 0 & 4 - a \\ \end{bmatrix}$

若AB的秩都是3，则
$a^2 - 2a - 3 \neq 0$ 且 $4 - a \neq 0$
解得
$a \neq 3$ 或 $a \neq -1$ ，且 $a \neq 4$
因此只要a是3，-1，4以外的数，AB都等价，带入原矩阵，当a=-1时，矩阵B的秩为2，此时AB不等价，因此只要a是3，4以外的数，AB都等价
若AB的秩是2
$a^2 - 2a - 3 = 0$ 且 $4 - a = 0$
解得
$a = 3$ 或 $a = -1$ ，且 $a = 4$
因此没有一个a能符合既能使得A的秩为2又能使B的秩为2，舍去
综上所述，当a为3，4以外的数时，矩阵等价，当a等于3或4时，AB等价。