逆向思维究本质——2021年北京中考数学第28题

“如果大山不能走向穆罕默德，穆罕默德可以走向大山”，这是著名科幻小说《三体》中，白ice从《古兰经》故事中受到启发，说出的一句台词。

在数学学习中，我们也经常用到这种思维，并称之为逆向思维，例如反证法、执果索因等。通常情况下，正向思维受到较大阻碍，或干扰较多，不妨换个角度，逆向思考问题。成功的逆向思维，其实是建立在正向思维的基础上，正因为遇到障碍，在突破过程中虽然受阻，但大量的尝试并不是无用功，一旦逆向思维突破，问题便迎刃而解。

题目

在平面直角坐标系xOy中，圆O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到圆O的弦B'C'(B'，C'分别是B，C的对应点)，则称线段BC是圆O的以点A为中心的“关联线段”.

(1)如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横纵坐标都是整数，在线段B1C1，B2C2，B3C3中，圆O的以点A为中心的“关联线段”是_____________；

(2)△ABC是边长为1的等边三角形，点A(0,t)，其中t≠0，若BC是圆O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；

(3)在△ABC中，AB=1，AC=2，若BC是圆O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长.

解析：

(1)

我们必须对“关联线段”定义有充分认知，才能顺利完成本题的判断，对于旋转变换，旋转前后，对应点到旋转中心的距离相等，我们不妨观察一下点A到C1，C2，C3的距离，可首先排除掉C1，因为点A与圆O上的点，距离最大为√2+1，显然A点到C1的距离为3，超出了，即无论怎么旋转，点C1都不会落在圆O上；

然后再来观察C2，我们发现，绕点A顺时针旋转90°后，点C2落在圆O上(0,1)处，此时点B2恰好落在圆O上(1,0)处，符合“关联线段”定义；

最后来看C3，旋转后它肯定能落在圆O上，但与此同时，点B3会落在何处呢？ 这时我们需要将三个点连接成三角形来看，如下图：

我们通过观察可发现，点B3旋转后的位置相对容易确定，在(0,-1)和(1,0)位置，然后将整个三角形画出来，发现此时点C3并未落在圆O上，不符合“关联线段”定义；

所以符合的只有B2C2；

(2)

本小题中等边△ABC的意义在于确定了点A和BC的相对位置，即点A一定在线段BC的垂直平分线上，抓住这个核心，本小题基本可以“秒”了。

由于点A(0,t)在y轴上，同时也在BC的垂直平分线上，那么线段BC的位置只能平行于x轴，再加上线段BC长度为1，所以只剩下两处，如下图：

在圆O中，弦长等于半径时，弦心距为√3/2，而在等边△ABC中，点A到BC的距离也是√3/2，因此点A到圆心O的距离为√3，即点A坐标为(0,√3)或(0,-√3)；

(3)

本小题的△ABC，给出AB=1，AC=2，BC未知，但根据“关联线段”的定义，旋转后B'C'一定是圆O的一条弦，对于点A而言，自由度太大，无法确定，而恰恰因为点A自由度大，所以相应的点B'和点C'的位置也相对自由，之所以说相对，是因为对于点B'和点C'，有圆O限制；

圆是中心对称图形，无论弦B'C'位于何处，确定点A的方法是固定的，即分别以点B'和点C'为圆心，作半径分别为1和2的两个圆，两圆交点即为点A；所以我们反过来，按先定B'，再限制C'，最后寻求点A'的顺序，简称为“定B'限C'索A”；

我们将点B'先“固定”在(-1,0)，其余位置也行，方法相同；

点C'在圆O上，分别以B'，C'为圆心，作半径为1和2的两个圆，其中一个交点为点A(另一个交点情况完全相同)；

现在对于点A而言，它在以B'为圆心，半径为1的圆上，点O反成为圆B'上一点，OA成为圆B'的一条弦，于是最大值为2，如下图：

此时的线段B'C'如何求呢？

我们连接OC'之后，发现△AOC'是一个腰长为2，底边长为1的等腰三角形，过点C'作C'D⊥OA，如下图：

设OD=x，则B'D=1-x，AD=2-x，在Rt△ADC'和Rt△ODC'中分别利用勾股定理得方程：4-(2-x)²=1-x²，解得x=1/4，再利用勾股定理求出C'D=√15/4，最后在Rt△B'C'D中求出B'C'=√6/2；

所以OA最大值为2，相应BC的长为√6/2；

然后我们来探索OA的最小值。

仍然由上图可知，点A在圆B'上，既然圆B'有一部分在圆O内，那么点A可能在圆O上吗？可能在圆O内吗？如果存在，那OA的长一定比点A在圆外时小，那就先试试点A在圆O上吧！

当点A在圆O上时，AC'成为圆O内的一条弦了，又AC'=2，它肯定是圆O的直径，因此△AB'C'是直角三角形，且OA=1，顺利求得B'C'=√3；

若点A在圆O内部，而点C'却始终在圆O上，由于圆O直径为2，显然AC'<2，不可能存在此种情况；

所以OA最小值为1，相应BC的长为√3；

综上：OA最大值为2，相应BC长为√6/2；OA最小值为1，相应BC长为√3.

解题反思

实在没想到，2021年北京中考数学压轴题居然可以“秒”，上述解法中，点A位置并不一定如图所示，也有可能在其它位置，但正如前面分析所说，自由度大，换个位置，计算出来的OA最值和相应的BC长依然相同，事实上，将本题第3小题解析中的B'换个任何位置，再作图，还是这几种情况。

这等于告诉我们，点A在哪，真不重要，点A为什么在那儿，非常重要！

今年北京的新定义，看似线段绕点A旋转，成为圆O的弦，其本质上依然是以弦作为切入点，旋转后就是弦，旋转前管你在哪呢？

对于类似的多动点问题，要抓住其不变量，为什么要固定点B'呢？因为B'C'是圆O的弦，并且存在最大值，这就有了限制，相对于点A，题目关于它的限制几乎没有或者隐藏较深，所以才固定弦的一个端点，当然，如果选择固定点C'，方法是一样的。

固定了点B'，那么点C'相对固定，毕竟它还在圆上，这样的设置，会减少探索点A位置的困难，因为弦的位置决定了点A的位置，这就是探索的依据。

点与圆的位置关系中，已经明确了点与圆距离的最大值与最小值求法，将它融入到新定义中，极考验学生对数学概念的理解，同时也考查学生的几何直观、几何作图。

显然如果先确定点A再去作△ABC，再去旋转，让B'C'成为圆O的一条弦，想想都无从下笔，这也是“大山不会走向穆罕默德”的原因，所以，我们才需要反其道而行之，从问题的本质出发，主动“向大山走去”。