设)
是Ricci曲率非负的紧致黎曼流形.假设任给正数
，均存在有限覆盖
使得)
的单射半径大于。证明：是平坦流形。
证:
1.构造 Universal Cover
设
是
的 universal cover。由于是紧致流形，因此是完备的，但它一般不是紧致的。上的度量
是
在上的拉回，因此的 Ricci 曲率也是非负的。
2.单射半径的处理
根据题设，对于任意正数，存在有限覆盖
，使得)
的单射半径大于。这意味着我们可以找到的有限覆盖
，使得的单射半径可以任意大。
3.利用单射半径的性质
考虑一个递增的正数序列
，其中
。对每个
，存在一个有限覆盖
。使得)
的单射半径大于。由于是的 universal cover，我们可以将这些有限覆盖提升到上。
4.体积比较定理的应用
根据体积比较定理，在上任意小球的体积和欧几里得空间中的小球的体积具有相同的增长率。由于的单射半径可以任意大，这意味着的大尺度几何和欧几里得空间类似。
- Ricci 曲率非负和 Bonnet-Myers定理的应用
由于的 Ricci 曲率非负，因此不存在 Ricci曲率严格为正的情况。Bonnet-Myers定理要求 Ricci 曲率严格为正，故不能直接应用 Bonnet-Myers定理来限制的直径。
6.证明是平坦的
由于的 Ricci曲率非负，且单射半径可以任意大，这意味着在大尺度上是无曲率限制的。结合Cheeger-Gromoll分裂定理，必须是平坦的。
综上，由于是的universal cover,且是平坦的，那么)
是欧几里得空间。因此，根据紧致黎曼流形与其universal cover的关系，如果universal cover 是平坦的，原紧致黎曼流形也是平坦的。
证明了是平坦流形。
