均值不等式链

本文介绍幂平均函数以及由他得出的幂均值不等式。

引理：Jensen不等式【琴生不等式】

假设 $f(x)$ 是区间 $I$ 上的凸函数，我们有如下结论：
$f(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}) \leq \frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}$

反之，如果 $f(x)$ 是一个凹函数，那么上面的不等式变号。

Jensen不等式证明

假设 $f(x)$ 是定义在区间 $I$ 上的凸函数，且 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 是 $I$ 上的任意点。我们需要证明以下不等式：

$f\left( \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}$

步骤 1: 使用凸函数的定义

函数 $f(x)$ 是凸的，意味着对于任意 $x_1, x_2 \in I$ 和 $\lambda \in [0, 1]$ ，有：

$f(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2)$

这就是凸函数的核心性质。

步骤 2: 归纳法证明

基本情形： $n = 2$

我们首先考虑 $n = 2$ 的情形，也就是说，证明以下不等式：

$f\left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$

这正是凸函数的定义。取 $\lambda = \frac{1}{2}$ ，我们有：

$f\left( \frac{1}{2} x_1 + \frac{1}{2} x_2 \right) \leq \frac{1}{2} f(x_1) + \frac{1}{2} f(x_2)$

因此，基本情况 $n = 2$ 成立。

归纳假设：假设 $n = k$ 时成立

假设对于任意 $k$ 个点 $x_1, x_2, \dots, x_k$ ，不等式：

$f\left( \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_k}{k} \right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_k)}{k}$

成立。

归纳步骤：证明 $n = k + 1$ 时成立

现在，我们需要证明对于 $k + 1$ 个点 $x_1, x_2, \dots, x_{k+1}$ ，有：

$f\left( \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{k+1}}{k+1} \right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_{k+1})}{k+1}$

为了证明这一点，我们将 $n = k + 1$ 的问题转化为两个部分，利用归纳假设和凸函数的性质。

首先，设 $\bar{x}_k = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_k}{k}$ 是前 $k$ 个点的平均值。根据归纳假设，我们知道：

$f\left( \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_k}{k} \right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_k)}{k}$

接下来，我们将 $\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_k + x_{k+1}}{k+1}$ 表示为两个部分的加权平均：

$\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{k+1}}{k+1} = \frac{k}{k+1} \cdot \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_k}{k} + \frac{1}{k+1} \cdot x_{k+1}$

即：

$\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{k+1}}{k+1} = \frac{k}{k+1} \bar{x}_k + \frac{1}{k+1} x_{k+1}$

由于 $f$ 是凸的，我们可以应用凸函数的定义，得到：

$f\left( \frac{k}{k+1} \bar{x}_k + \frac{1}{k+1} x_{k+1} \right) \leq \frac{k}{k+1} f(\bar{x}_k) + \frac{1}{k+1} f(x_{k+1})$

由归纳假设， $f(\bar{x}_k) \leq \frac{f(x_1) + \cdots + f(x_k)}{k}$ ，因此：

$f\left( \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{k+1}}{k+1} \right) \leq \frac{k}{k+1} \cdot \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_k)}{k} + \frac{1}{k+1} f(x_{k+1})$

将右边的两项合并，得到：

$f\left( \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{k+1}}{k+1} \right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_{k+1})}{k+1}$

结论

通过归纳法，我们证明了对于任意正整数 $n$ ，不等式：

$f\left( \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}$

对于任意凸函数 $f(x)$ 和任意 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 成立。

幂平均函数

假设 $x_1,x_2,\cdots,x_n>0$ ,则幂平均函数定义如下：
$M(r)=(\frac{x_1^r+x_2^r+\cdots+x_n^r}{n})^{\frac{1}{r}}, (当r \neq 0时)$

$M(0)=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$
接下来我们说明这样一个幂平均函数在实数集上是连续并且单调递增的。

幂平均函数的单调性证明。

取函数 $f(x)=x^{\frac{\beta}{\alpha}}(x>0)$ ，则

$f''(x)=\frac{\beta}{\alpha}(\frac{\beta}{\alpha}-1)x^{\frac{\beta}{\alpha}-1}$

①当 $0< \alpha <\beta$ 时， $f''(x)>0$ ，此时 $f(x)$ 是一个凸函数。那么根据我们的引理琴生不等式，有
$f(\frac{a_1^\alpha+a_2^\alpha+\cdots+a_n^\alpha}{n})\leq \frac{f(a_1^\alpha)+f(a_2^\alpha)+\cdots+f(a_n^\alpha)}{n}$
讲 $f(x)$ 的具体形式带入，随后两边 $\frac{1}{\beta}$ 次方.
可以得到
$(\frac{x_1^\alpha+x_2^\alpha+\cdots+x_n^\alpha}{n})^{\frac{1}{\alpha}}\leq(\frac{x_1^\beta+x_2^\beta+\cdots+x_n^\beta}{n})^{\frac{1}{\beta}}$
这样就证明了 $M(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 这个区间上是递增的。

②当 $\alpha<\beta<0$ 时， $f''(x)<0$ ，此时 $f(x)$ 是一个凹函数。那么根据我们的引理琴生不等式，有
$f(\frac{a_1^\alpha+a_2^\alpha+\cdots+a_n^\alpha}{n})\geq \frac{f(a_1^\alpha)+f(a_2^\alpha)+\cdots+f(a_n^\alpha)}{n}$
讲 $f(x)$ 的具体形式带入，随后两边 $\frac{1}{\beta}$ 次方.这时候需要注意 $\frac{1}{\beta}$ 是一个负数，因此要改变不等式符号的方向。
可以得到
$(\frac{x_1^\alpha+x_2^\alpha+\cdots+x_n^\alpha}{n})^{\frac{1}{\alpha}}\leq(\frac{x_1^\beta+x_2^\beta+\cdots+x_n^\beta}{n})^{\frac{1}{\beta}}$
这样就证明了 $M(x)$ 在 $(-\infty，0)$ 这个区间上是递增的。

于是我们就得到了如下的均值不等式链：
$M(-1)\leq M(0)\leq M(1)\leq M(2)$
他们从左到右依次被称为 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的调和均值，几何均值，算术均值，平方均值。

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