裂项相消

(n) 个正整数和的公式

1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}.

推导过程

  1. 写出和的表达式：
    S = 1 + 2 + 3 + \cdots + n.

  2. 倒序相加：
    将这组数从后往前写一遍：
    S = n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 1.

  3. 两式相加：
    将两组数按列相加，得到：
    2S = (1 + n) + (2 + (n-1)) + (3 + (n-2)) + \cdots + (n + 1).

    每对括号的和都是 (n+1)，总共有 (n) 对。

  4. 化简：
    2S = n(n+1).

  5. 求解 (S)：
    S = \frac{n(n+1)}{2}.

示例

计算前 (5) 个正整数的和：
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = \frac{5(5+1)}{2} = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15.

裂项相消求和

题目

我们要求解以下和式：
S = \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \frac{1}{1+2+3+4} + \cdots + \frac{1}{1+2+3+\cdots+100}.

推导过程

  1. 分母化简
    根据正整数和的公式 (1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2})，可以将每一项的分母改写为：
    \frac{1}{1+2+\cdots+n} = \frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2}{n(n+1)}.

  2. 拆分为裂项
    利用分式拆分技巧：
    \frac{2}{n(n+1)} = 2 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right).
    因此，原和式可以改写为：
    S = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{100} - \frac{1}{101} \right).

  3. 裂项相消
    观察到中间项逐一抵消，仅剩首尾两项：
    S = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{101} \right).

  4. 化简
    化简得：
    S = 2 \left( \frac{1}{2} \right) - 2 \left( \frac{1}{101} \right) = 1 - \frac{2}{101}.

    最终结果为：
    S = \frac{99}{101}.

答案：

S = \frac{99}{101}.

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