不管本科高数还是考研数学，数列极限问题，看这一篇文章管够，看完还不会做你来找我！
数列极限，是数列和极限两个充满不确定性的概念相混合，容易让人产生摸不着头脑，看到题目就害怕的感觉，本篇文章就按以下目录对这块儿重难点拨云见日，内容循序渐进，越往后越精彩，大家可以自行感受一下！
01 什么是数列
02 数列的极限
03 数列极限的计算(三种类型)
04数列相关证明题(两种类型)
01 什么是数列？(掌握难度：★)
从字面意思就可以看出来：数列数列，就是将数排成队列。详细点来说，就是将一堆数按照某种规律排成一排，p.s.类似军训，教官让我们按照从矮到高(某种规律)排成一排。
这时，有个数在开小差，教官就开始点名了。还记得我们当时军训时教官是怎么点名的么?
“第m排第n列,请出列”——这耳熟能详的语句。
由于我们的数只有一列，所以我们就变成了，“第n个数请出列”。为了描述方便我们用符号 表示，含义为第n个数，于是就有
。如果可以用某个含n的式子来表示
，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，例如本文举例的数列，它的通项公式就是：
。有了它，我们就可以快速get这一列数中的每一个数，是不是很方便。
但是，人总是贪心的。所以一定会有人问：“你不是说每一项你都知道么？那么第无穷项是多少呢？”这个时候就涉及到了数列的极限。
02 数列的极限(掌握难度：★★)
针对刚刚的问题——数列的“无穷项”是多少？即当
时，
趋近于多少。可见这是一个极限问题，用数学式来表示：
上式的结果，有些是可预测的（可计算出结果），有些是不可预测的（结果不确定），如下：
例如：
（1）
（2）
（3）
数列(1)，在-1和1间摇摆不定，"第无穷项"鬼知道是1还是-1，因此极限不存在；
数列(2)，随n增大， 也无限制地增大，增大到无穷时，无法用一个具体的数来表示，其极限也不存在。对于数列(1)和(2)，我们称其为发散数列，或称这个数列是发散的。
数列(3)，随n增大，每一项的分母都会无限制的增大，进而每一项会越来越小，最终 ，所以此时我们可以预测在“第无穷项”处，数列的值趋近于0，这个时候我们也称数列（3）收敛。
所以可知，当 的时候，数列的“第无穷项”我们是可以预测出来的，此时这个数列
也是收敛的。最终得到下面的关系：
收敛
存在
极限趋近的数学表达式： ，用大白话讲就是：当n趋近无穷大时，
与A距离越来越近。而衡量两个数的距离远近，用绝对值来表示，就是
。所以该语句套上数学的外衣就是
，当然这句话也可以换一种说法，既然
那么也就是说
要多小有多小，即它比所有的正数都小，这就引出了很多教材常见的写法：
设{}为实数数列，A 为定数，若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有
则称数列{
}收敛于A，定数A称为数列{
}的极限。
讲完了定义，接下来讲一下数列极限的计算。(对于考研的同学来说，这块是难点内容)。
03 数列极限的计算(掌握难度：★★★★)：
类型一：求 
，其中 
已知，且只含有限个式子。
解法技巧：
a.利用极限相关知识直接计算
(有时会运用到不等式放缩、夹逼定理。p.s. 通常它们两者是同时运用的)
相关例题：
b.令n=x或1/x，从而将离散的数列转变成连续可导的函数来做。函数有着优良的处理手段，微分中值定理、洛必达，等价无穷小、泰勒展开等。进而使问题得到解决。
相关例题:
可见本题利用换元，将离散的数列变成一个具有优良性质的函数，进而利用函数的极限知识来求解数列极限，即实现了由陌生到熟悉的过程，最终解决问题！
c.利用级数相关知识求极限(如果级数 收敛，那么
)（数学1和数学3）
相关例题:
类型二：无穷多项和的极限
解题技巧：
a.利用高中知识求解
有可能会用到的高中知识：
(1)若
(d为公差)，则{
}为等差数列
（等差数列前n项和）
(2)若
(q为公比)，则 {
} 为等比数列
（等比数列前n+1项和）
（3）等差*等比求n项和时运用错位相减：{
}为等比数列，求
作差后：
(b为公差）
(4)裂项相消
相关例题:
解数列极限所用到的高中知识点，常见的也就是如上4条（等差数列求和、等比数列求和、错位相减、裂项相消），掌握好即可！！！
b.不等式放缩+夹逼定理(两者好似如胶似漆的情人，往往成对出现)
相关例题:
这种类型往往放缩是一个难点，那么如何放缩呢？这就需要平时多做题多总结。比如左边例十三这种n项分式相加的题目，往往考虑到放缩分母至相同，因为这样可以简化式子。那么是什么条件能够告诉你确实可以这样做呢？那就是题目中所说的：最大分母和最小分母是等价无穷大；又如右边例十四，将每一项都放大为1，得到一个式子；同时把小于1的每一项都缩小为0，又得到一个式子，为什么要这么做呢，因为我知道任何正数开无穷次方都为1，所以就想到这样放缩，最后夹逼到1，因此做这种类型的题目，平时一定要多总结！！！
c.定积分定义(离散与连续的转化思想) p.s. 有难度的题会协同放缩、夹逼定理一起为难你。
这种类型题目就是把所求的目标极限转化为标准的定积分的定义式，然后将此数列转化为定积分来做，即可得到解决。这里先回顾一下定积分的定义：
如上图所示，如果想要求a、b两点之间曲线和x轴之间的面积S，我们会怎么做呢（假如我们还不知道定积分这个东西），是不是想要找熟悉的形状去进行一个估计呢，这确实是一个好办法，事实上，很多数学家都是这样做的：用若干个等宽的矩形去填充这个区域。如图所示，当只用6个等宽矩形去填充这个区域时，此时这些矩形的总面积为S阴(表达式在图下)，结合图可以知道此时用S阴去代替所求的面积S误差会很大，但是随着这个矩形宽度减少到 ，即用27个等宽矩形去填充这个区域，可以发现误差基本已经很小了。直到当矩形的宽度很小时，等宽矩形的数目趋近于无穷时，他们的面积可以认为是相等的，此时可用这个极限去估计这个所求区域的面积S了。而这个表达式即是定积分的定义式，如下所示：
可见左边是一个数列的极限，而右边是定积分。定积分的计算我们比较熟悉了，所以这个式子即可把抽象的数列极限转变为定积分，用积分来解出值。所以遇到此类题的时候，要想方设法将所求的极限变成定积分定义式的表达形式，进而求解。
注：一般来说，所遇到的此类题大都是b=1，a=0。即为：
相关例题：
可见，有时候定积分定义可以和不等式放缩一起来考察，即把一个式子放缩至两个定积分定义，且两个定积分值相等，再用夹逼准则即可。
d.利用级数求和来解决（数学1和数学3）
即是将无穷项数列极限 幂级数
和函数
代值得到结果
相关例题：
总结一下，就是首先将 里面的数
变成
，然后转化成幂级数。下一步就是通过提取，求导，积分等手法将该幂级数往已知和函数的幂级数进行一个转化，进而求出该幂级数的和函数，最终代入对应的值即可！！！
类型三：已知 三项之间的线性关系，求极限值(有兴趣了解下)
解题技巧：
利用线性代数知识(对角化的其中一个运用)
若数列的递推公式形如 且
已知，（a，b为常数且a，b不等于0，n=2,3……）则有如下过程：
这块可以认为是线性代数的一个运用，即利用相似对角化解决矩阵A的n次方问题。从而求出对应的和
。
相关例题：
04 数列相关证明题(掌握难度：★★★★★)：
即证明 收敛
证明
存在
类型一：知道递推关系证明收敛（形如 ）
这种类型大致分为以下两种思路：一个就是逐渐增加（或减少）但是有界限，进而逐渐趋近于所求的极限；另一种就是类似于振荡的趋近于某个极限。两种类型的示意图如下所示：
那么如何快速判定你所求数列的极限是哪一种形式呢？这里即也要从函数角度来思考。
首先这种类型的题目我们是知道递推式：，故我们研究一下
。
先说结论吧：
a.若f(x)是单调递增，那么数列 单调。
证明：假设
，则带入函数中，
即
为递减数列
同理：当
时，能推出即
b.若f(x)是单调递减，那么数列为振荡数列。
证明：假设
，则带入函数中，
可推知其为振荡数列。
c.若f(x)不单调，但 在其单调增区间内，那么依然有
单调。
证明过程和a类似，这里就不再证明啦！！
所以既有如下图所示的证明流程思路：
接着就可以用以上的流程开始做题了，具体题目如下所示哈：
相关例题：
上面两题即是常见单调数列证明收敛的手法，即单调有界法！！说白了就是证明两点：1.单调；2.有界。
注：也可以通过证明数列单调递增有上界或者单调递减有下界，同样能证明出数列收敛。
下面来看下振荡数列如何证明其收敛
上面两题即是当数列不单调时证明其收敛的手法。其难点在于第二步，如何找到对应的A和B。其中，A是数列最终收敛于的数，因此这里我们先假定收敛，有
，这样就可以将
左右取极限，即
便可以解出A的值。接着我们构造
，并将
带入，之后有 ：
，此时想办法往
去变化，如果变化出来式子小于B小于1，那么就有递推式：
且当 时：
，这样的话：
，即
那么B如何求呢？一般是通过将所构造的 通分，提取等方法化简出来
，然后将
前面的一连串东西提取到绝对值外面，即
，然后通过放缩来确定▢是小于1，此时取它们之间的一个常数为B，而
在绝对值中进行变形转变为A，此时这个式子就构造完毕，接着就可以证明了！！！
类型二：求不出形如 这样的递推式
这种求不出来递推式的数列极限，相对较难求，此时无法用上述类型一的两种套路方法。
此时需要根据具体表达式具体来做。大致步骤分为两步：1.列出含有的相应表达式；2.利用这个表达式求解。
相关题目：
从上面两题可以看出，利用表达式求解即一般就是找到的单调性、有界性，继而用单调有界做；或者利用极限知识直接求解出值。
