1.4数列极限

数列：x₁,x₂,...,xₙ...，例1, $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ ,..., $\frac{1}{n}$ ,...

无穷数列：{xₙ}/xₙ（项，第n项，通项）

递增数列：x₁≤x₂≤...≤xₙ≤...

递减数列：x₁≥x₂≥...≥xₙ≥...

有界数列：|xₙ|≤M，否则叫无界

极限： $\frac{n}{n+1}$ $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{3}{4}$ , $\frac{4}{5}$ ,..., $\frac{9999}{10000}$ →1

证明：0.999...=1

① $\frac{1}{3}$ =0.333... ⇒ 1=0.999...

②0.999...=0.9+0.09+0.009... ⇒ $\frac{0.9×(1-0.1ⁿ)}{1-0.1}$ = $\frac{0.9}{1-0.1}$ =1

③0.999...=a，9.999...=10a ⇒ 9=9a ⇒ a=1

n/n+1图像

数列极限定义

ε=0.1，N=11，当n>N时， $\frac{12}{13}$ , $\frac{13}{14}$ , $\frac{14}{15}$ , $\frac{15}{16}$ ,...都大于 $\frac{9}{10}$ (0.9)，后面所有项都落在邻域U(1,0.1)里。

任给一个小的邻域，都能找到一个N，使得后面所有项n＞N时，后面数列的值都落在邻域里

数列极限定义：设数列{xₙ}，若存在常数a，任给ε>0，总存在N，当n>N时，使得|xₙ-a|<ε，那么就称{xₙ}以a为极限或{xₙ}收敛于a，记作 $\lim_{x\to+∞}xₙ=a$ 或 xₙ→a(n→+∞)

两类题型：

①已知数列和极限，用定义证明极限（目标：找到N）

②已知数列，求极限

例1:证明数列 $\left\{ \frac{n}{n+1} \right\}$ 的极限是1

证明：∀ε>0，要使|xₙ-a|= $\vert \frac{n}{n+1}-1\vert$ = $\frac{1}{n+1}$ <ε成立

$\frac{1}{ε}$ <n+1 ⇒ n> $\frac{1}{ε}$ -1，N= $[\vert \frac{1}{ε}-1 \vert ]+1$

∴n>N时， $\vert\frac{n}{n+1}-1 \vert$ <ε

例2：若|q|<1，证明：数列{qⁿ}的极限是0

证明：当q=0时，0ⁿ=0

当q≠0时，∀ε>0(ε<1)，要使|qⁿ-0|<ε成立

|qⁿ|<ε ⇒ nlg|q|<lgε ⇒ n> $\frac{\lgε}{\lg|q|}$ ，N= $[\frac{\lgε}{\lg|q|} ]+1$

∴n>N时，|qⁿ-0|<ε

例3：若a>0，证明：数列 $\left\{\frac{1}{nª}\right\}$ 的极限为0

证明：∀ε>0，要使 $\vert \frac{1}{nª}-0\vert$ >ε成立

$\frac{1}{nª}$ <ε ⇒ nª> $\frac{1}{ε}$ ⇒ n> $（\frac{1}{ε} ）^\frac{1}{a}$ ，N= $[（\frac{1}{ε} ）^\frac{1}{a} ]+1$

∴n>N时， $\vert \frac{1}{nª}-0\vert$ >ε成立

收敛数列的性质：

① {xₙ}收敛，极限唯一

② {xₙ}收敛，有界（有界是收敛的必要不充分条件，单调且有界一定存在极限）

③ $\lim_{x\to+∞}xₙ=a$ ，若a>0(a<0)，则∃N，使n>N时，xₙ>0

④ {xₙ}收敛于a，其任意子数列也收敛于a

推论(1)找到一个子数列不收敛，则原数列发散

推论(2)找两个子数列，虽都收敛，但极限不同，则原数列发散

推论(3)原数列收敛的充分必要条件是奇数项偶数项构成的子数列收敛且极限相等

性质①用反证法证明： $\lim_{x\to+∞}xₙ=a$ ， $\lim_{x\to+∞}xₙ=b$ ，a≠b，a<b，ε< $\frac{b-a}{2}$

∵ $\lim_{x\to+∞}xₙ=a$ ，∃N₁，n>N₁，|xₙ-a|< $\frac{b-a}{2}$

$\lim_{x\to+∞}xₙ=b$ ，∃N₂，n>N₂，|xₙ-b|< $\frac{b-a}{2}$

$-\frac{b-a}{2}$ <xₙ-a< $\frac{b-a}{2}$ ⇒ $\frac{3a-b}{2}$ <xₙ< $\frac{a+b}{2}$

$-\frac{b-a}{2}$ <xₙ-b< $\frac{b-a}{2}$ ⇒ $\frac{a+b}{2}$ <xₙ< $\frac{3b-a}{2}$

∵矛盾 ∴假设不存在

性质②证明： $\lim_{x\to+∞}xₙ=a$ ，取ε=1，∃N，n>N，|xₙ-a|<1

|xₙ|=|xₙ-a+a|≤|xₙ-a|+|a|<|a|+1

M=max{|x₁|,...| $x_{N}$ |,|a|+1}

性质③证明：a>0，ε=a/2，∃N，n>N，|xₙ-a|<a/2

-a/2<xₙ<a/2 ⇒ a/2<xₙ<3a/2

子数列：x₁,x₃,x₄,x₆,...是x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,...的子数列（保证先后次序），记作 $\left\{ x_{k_{n} } \right\}$ 是 $\left\{ x_{k} \right\}$ 的子数列。注意，子数列的项是从原数列抽出来的，可能会抛弃某些项不选，所以子数列的第n项只能从原数列的第n项或以后的项中选取(例1,2,3,4,...和1,3,6,7,...)，即 kₙ≥n

性质④证明： $\lim_{x\to+∞}xₙ=a$ ，∀ε>0，∃N，n>N时，|xₙ-a|<ε

kₙ≥n>N，| $x_{k_{n}}$ -a|<ε， $\left\{ x_{k_{n} } \right\}$ 也收敛于a

1.4数列极限

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