第2章第2节数列极限

数列

按正整数编了号的一串数。
$\lbrace x_n \rbrace:x_1,x_2,...,x_n,...$
$x_n$ ——通项
注意：
数列的表示有顺序，而集合没有。

定义 2.2.1

有数列 $\lbrace x_n\rbrace,$ 常数 $a.$
假如对任意给定的 $\epsilon > 0,$ 可以找到正整数 $N,$ 使得当 $n>N$ 时，成立 $|x_n-a|<\epsilon.$
则称 $\lbrace x_n\rbrace$ 收敛于 $a$ ,记为： $\lim\limits_{n \to \infty}x_n=a.(x_n\to a(n\to \infty))$
若假如不存在 $a,$ 使 $\lbrace x_n\rbrace$ 收敛于 $a,$ 则称 $\lbrace x_n\rbrace$ 发散。
$\implies \epsilon - N语言.$
$\forall \epsilon >0,\exists N,\forall n > N:|x_n-a|<\epsilon.$

邻域

$O(a,\epsilon)=(a-\epsilon,a+\epsilon)=\lbrace x|a-\epsilon<x<a+\epsilon\rbrace.$

一个数列收敛与否，收敛的话，收敛于哪个数，这与数列的前有项无关。

例 2.2.1

用定义证明 $\lbrace \frac{n}{n+3}\rbrace$ 极限为1。

证：
对任意给定的 $\epsilon>0,$ 要使得： $|\frac{n}{n+3}-1|=\frac{3}{n+3}<\epsilon \Longleftrightarrow n>\frac{3}{\epsilon}-3$
$取N=[\frac{3}{\epsilon}]+1,则当n>N时,$
$|\frac{n}{n+3}-1|<\epsilon .$

以 $0$ 为极限的变量称为无穷小量

例 2.2.2

$0<|q|<1,证明\lbrace q^n\rbrace 是无穷小量.$

方法一
对任意给定的 $\epsilon >0:$
$|q^n-0|=|q^n|<\epsilon$
$n\lg{|q|}<\lg{\epsilon}$
$n>\frac{\lg{\epsilon}}{\lg{|q|}}$
$取N=max([\frac{\lg{\epsilon}}{\lg{|q|}}],1)$
$当n>N时,$
$|q^n-0|=|q^n|<\epsilon$

方法二
对任意给定的 $\epsilon >0:0<\epsilon < |q|,$ （只考虑小的）
$...略$

例 2.2.3

$证明：\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{a}=1,(a>1).$

证：
$对任意给定的\epsilon > 0,$
$令\sqrt[n]{a}-1=y_n,y_n>0.$
$\sqrt[n]{a}=1+y_n$
$a=1+C_n^1y_n+C_n^2y_n^2+C_n^3y_n^3+...+C_n^ny_n^n>1+ny_n$

$y_n<\frac{a-1}{n}$
$为了使:\sqrt[n]{a}-1=y_n<\frac{a-1}{n}<\epsilon$
$n>\frac{a-1}{\epsilon}$
$取N=[\frac{a-1}{\epsilon}]+1$
$当n>N时,|\sqrt[n]{a}-1|=y_n<\frac{a-1}{n}<\epsilon.$

例 2.2.4

$证明:\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{n}=1$

$证:$
$对任意给定的:\epsilon > 0$
$令\sqrt[n]{n}-1=y_n>0,(n=2,3,4,...)$
$n=1+C_n^1y_n+C_n^2y_n^2+C_n^3y_n^3+...+C_n^ny_n^n>1+C_n^2y_n^2=1+\frac{n(n-1)}{2}y_n^2$
$y_n^2<\frac{2}{n},y_n<\sqrt{\frac{2}{n}} < \epsilon$
$n>\frac{2}{\epsilon^2}$
$取N=[\frac{2}{\epsilon^2}]+1$
$当n>N时,|\sqrt[n]{n}-1|=y_n<\sqrt{\frac{2}{n}}<\epsilon.$

例 2.2.5

$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^2+1}{2n^2-7}=\frac{1}{2}$

证：
$对任意给定:\epsilon>0$
$|\frac{n^2+1}{2n^2-7}-\frac{1}{2}|=|\frac{7n+2}{2n(2n-7)}|=\frac{7n+2}{2n(2n-7)}<\frac{8n}{4n^2}\cdot 2=\frac{4}{n},(n>6).$
$令\frac{4}{n}<\epsilon,n>\frac{4}{\epsilon}$
$取N=max([\frac{4}{\epsilon}],6)$
$当n>N时:|\frac{n^2+1}{2n^2-7}-\frac{1}{2}|=|\frac{7n+2}{2n(2n-7)}|<\frac{4}{n}<\epsilon.$

例 2.2.6

$设\lim\limits_{n \to \infty}a_n=a,证明:\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}=a.$

证：
$(1)先设a=0,对任意给定的\epsilon > 0,存在N_1,当n>N_1时:|a_n|<\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$
$\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}=\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_{N_1}}{n}+\frac{a_{N_1+1}+a_{N_1+2}+a_{N_1+3}+...+a_n}{n}$
$|\frac{a_{N_1+1}+a_{N_1+2}+a_{N_1+3}+...+a_n}{n}|<\frac{\epsilon}{2}$
$a_1+a_2+a_3+...+a_n确定,取N>N_1,使n>N时:|\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_{N_1}}{n}|<\frac{\epsilon}{2}$
$所以:|\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}|<\epsilon.$
$(2)a\not = 0$
$\lbrace a_n-a \rbrace是无穷小量.$
$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}-a=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{(a_1-a)+(a_2-a)+(a_3-a)+...+(a_n-a)}{n}=0$
$所以:\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}=a$

数列极限的性质

（1）惟一性

若 $\lim\limits_{n \to \infty}x_n=a,\lim\limits_{n \to \infty}x_n=b,则a=b.$

证明

（2）有界性

$对于数列\lbrace x_n \rbrace ,若\exists M \in R,\forall n \in N^+,成立: x_n \le M,$
$则:M是\lbrace x_n \rbrace的一个上界,或称\lbrace x_n \rbrace 有上界.$
$若\lbrace x_n \rbrace 既有上界也有下界,则称\lbrace x_n \rbrace 有界,$
$即:\exists X \in R^+,\forall x \in N^+,成立:|x_n| \le X.$

证明

推论

收敛数列必定有界.

（3）保序性

有 $\lbrace x_n \rbrace,\lbrace y_n \rbrace,\lim\limits_{n \to \infty}x_n=a,\lim\limits_{n \to \infty}x_n=b,a<b.$
则： $\exists N,\forall n>N,$ 成立： $x_n<y_n$ 。

证明

（4）夹逼性

有 $\lbrace x_n \rbrace,\lbrace y_n \rbrace,\lbrace z_n \rbrace,\exists N,\forall n>N:$ 成立 $x_n \le y_n \le z_n$ 且 $\lim\limits_{n \to \infty}x_n=\lim\limits_{n \to \infty}z_n=a,$
则： $\lim\limits_{n \to \infty}y_n=a$ 。

证明

数列极限的四则运算

有 $\lim\limits_{n \to \infty}x_n=a,\lim\limits_{n \to \infty}y_n=b$ .则：
（1） $\lim\limits_{n \to \infty}(\alpha x_n+\beta y_n)=\alpha a+\beta b$ （前提：有限个项相加）
（2） $\lim\limits_{n \to \infty}(x_n\cdot y_n)=a\cdot b$
（3） $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac{a}{b}$

证明

最后编辑于：2019.04.17 19:48:31

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