球的内切问题

球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目．而且球相关的特殊距离，即球面距离是一个备考的重点，要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，更应特别加以关注的．题目一般属于中档难度，往往单独成题，或者在解答题中以小问的形式出现．

球的内切问题

类型一 球的内切问题

使用情景：有关球的内切问题
解题步骤：

第一步 首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；
第二步 然后寻找几何体与几何体之间元素的关系
第三步 得出结论.
【例】．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．

（1）求两球半径之和；

（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．

【解析】


（1）如图2，球心O_1和O_2在上，过O_1，O_2分别作AD，BC的垂线交于E，F

则由AB=1，AC=\sqrt{3}得AO_1=\sqrt{3}r，CO_2=\sqrt{3}R，

所以r+R+\sqrt{3}(r+R)=\sqrt{3}

所以R+r=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}；

（2）设两球体积之和为V

则V=\dfrac{4}{3}\pi(R^3+r^3)

=\dfrac{4}{3}\pi(r+R)(R^2-Rr+r^2)

=\dfrac{4}{3}\pi\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}[(R+r)^2-3rR]

=\dfrac{4}{3}\pi\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}[(\dfrac{3-\sqrt{3}}{2})^2-3R(\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}-R)]

=\dfrac{4}{3}\pi\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}[3R^2-\dfrac{3(3-\sqrt{3})}{2}R-(\dfrac{3-\sqrt{3}}{2})^2]

当R=\dfrac{3-\sqrt{3}}{4}时，V有最小值.

所以，当R=r=\dfrac{3-\sqrt{3}}{4}时，体积之和有最小值．

【总结】此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，大家一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面 ，得如图2的截面图，在图2中，观察R与r和棱长间的关系即可．

©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
平台声明：文章内容（如有图片或视频亦包括在内）由作者上传并发布，文章内容仅代表作者本人观点，简书系信息发布平台，仅提供信息存储服务。

推荐阅读更多精彩内容