这才是数学     

乔.博勒

第一章　大脑与数学学习

人类大脑的灵活性与可塑性，深度学习和训练可以使大脑的海马体显著长大。

我们的大脑每时每刻都在产生新的神经元连接，对于那些在“成长型思维模式”的环境中长大的孩子，一切皆有可能。

一个人成功与否并不取决于他出生时的大脑，而是取决于他的生活方式、对自己潜力的认识以及他得到的学习机会。

人人都喜欢被表扬，但如果人们是因为某种能力（例如“你好聪明啊”）而受到表扬，而不是因为他做的事情（例如“你工作做的太棒了”）而受到表扬，那么他就会认为他的能力是有限的。

表扬学生努力而不是聪明。

第二章　不经历风雨，怎么见彩虹？

“一个学生在学习数学时每犯一次错误，他的大脑中就会激发出新的神经突触。”

犯错说明你的学习在进步。

当我们犯错时，我们的大脑会做出两种反馈。第一种是错误相关负电位反馈（ERN response），这种反馈会在大脑经历正确与错误的矛盾时增加大脑的电流活动。更有趣的是，不管犯错的人是否能够意识到自己犯了错，这种反馈都会产生。第二种反馈我们称之为Pe反馈，它是在我们意识到自己犯了错并有意识关注这个错误时大脑产生的反馈。

错误会激发我们的大脑并让它成长。

第一，人们在犯错误时大脑中的错误相关负电位反馈和Pe反馈的强度（也就是大脑中的电流活动）比得到正确答案时大脑中两种反馈的强度大很多。第二，具备成长式思维模式的人在犯错时其大脑电流活动强度要比具有僵固式思维模式的人在犯错时大脑电流活动强度大很多。

具备成长式思维模式的人对错误的觉察更加敏锐，所以他们回头改正错误的概率也就更大。他们重复犯某个错误的概率更小。

犯错是我们学习的最佳时机，也是大脑成长的关键时刻。如果我们相信自己有能力学习，相信犯错的价值，那么我们的大脑就会在犯错时得到成长。尤其是在充满挑战的时刻，对自己充满信心是多么重要！

越成功的人犯错的次数越多。

“不完美是任何创新过程和生活中一部分，但却因为种种原因，我们生活在一个异常害怕失败的文化中。这种文化过于注重完美，让我们畏首畏尾。如果你想变得更富有创造力和创新精神，摆脱这种文化的束缚、彻底地解放大脑是你唯一的出路。”

彼得.西姆斯也总结了成功人士普遍具有的习惯。

·在犯错时不会感到尴尬。

·会尝试那些看起来很不靠谱的想法。

·愿意接纳不同的经历与经验。

·参与时不妄自评判。

·愿意挑战传统的观点。

·具有持之以恒的精神。

让学生把一张纸团成一个纸团，并让学生们假定自己做错了数学题，然后在犯错后将这个纸团向着黑板的方向投过去，这样学生就可以把自己的负面情绪（通常为受挫的情绪）释放出来。随后，她让学生把自己的纸团捡回来，打开展平，并用彩笔把纸上的折痕画出来，而这些折痕就代表他们大脑的成长。她要求学生们把这张纸放在文件夹中保存，从而时刻提醒他们犯错的重要性。

让学生们把自己犯的各种错误展现出来，甚至可以把测试试卷展现出来。然后教师从这些试卷中找到“最喜欢”的的错误。教师应该让学生们知道，我们所寻找的“最喜欢”的错误是观念上的错误，而不是做数学题时犯的错误。然后，教师可以把这些错误和学生们分享，并讨论这个错误观念是从哪里来的，以及这种观念为什么是错的。学生们通过讨论进而认识到，当他们犯错时，他们的认知会改变，他们的大脑会被激发成长，这正是加强他们对错误正确认知的好时机。因为，当一个学生犯某种错误时，其他学生也可能会犯同样的错误，所有通过对犯错的讨论可以引发更多的学生去思考。

如果我们想培养学生的成长式思维，改变他们对数学学习的看法，应尽量减少测试和评分。如果我们必须要对他们进行测试和评估，那么我们应该为他们犯的错加分，并做出正面的评估。这样学生们才能认识到，犯错是他们学习和大脑成长的最好时机。

学习不是简单的记忆，真正的学习是理解不同的想法和观点是如何有序的连接在一起的。

不要要求孩子把所有的问题做对，因为在这种情况下他们什么也学不到。

错误分享，这对你自己以及全班同学都是有益的。”你犯了一个错误，其他同学也可能犯同样的错误，如果大家可以讨论一下这个错误，那么大家都可以从这个错误中学到经验。

真正的数学不是固定不变的解题步骤，而是一门发展的、开放的、创造性的、关于数量关系的学科。

第三章　数学之美

真正的数学就是一门充满不确定性的学科，数学的本质是探索、推理和解释，而不是确定的答案。

数学工作的四个步骤：1.提出问题。2.根据问题建立数学模型。3.计算。4.从数学模型回到问题，看问题是否得到解决。

在数学课上，小组讨论或者整个班级范围的讨论对数学学习非常重要。讨论不仅能够在最大程度上帮助学生们去理解要学的内容，让数学这个学科变得活灵活现，让学生们对数学更感兴趣，而且它还能让学生们在讨论的过程中学会推理，学会理解其他人的推理，这两点技能在现在的高科技工作环境中非常关键。

第四章　玩转数字——开创数学式思维

成长式思维模式就是智力水平会成长，也就是大脑会越用越灵。我们要让学生用发展的眼光看待自身与数学，让他们知道自己应该做些什么。孩子们需要把数学看作一门概念性的、不断发展的学科，而他们要做的就是思考，把数学中蕴含的道理弄明白。如果学生把数学看成一系列小问题的集合，那么他们在学习过程中就看不到自身的成长。他们会认为数学就是一系列解题方法的集合，唯一的区别就是会用这些方法或者不会用这些方法。如果学生把数学看成一个可以自由探索、提问问题、思考事物相互关系的充满未知谜题的世界，那么他们在学习过程中就会意识到他们的角色是进行思考、寻根问底和自身成长。当学生们能够认识到数学是概念与数量关系的集合，能够认识到他们的任务是思考与成长时，他们就具有了数学式思维模式。

上学之前，这个任务非常简单：只要让他们在玩耍的过程中去接触数学谜题、形状和数字，并引导他们思考它们之间的关系即可。

此时正是教师和家长们把“数学作为一门需要思考与意义构建的概念性学科”介绍给学生的关键时期。

在学习数学的过程中一定要理解概念。概念式的学习方式是数学式思维的本质。

让学生培养数感、在理解与应用的过程中记忆数学常识、弄懂数字间的关系非常重要。

17×8”时，一种策略是先计算“17×10（=170）”，然后减掉“17×2（=34）”；另一种策略是直接计算“17×8=136”。使用第一种策略的人比直接记忆计算结果的人实现的成就更大，解决新问题的能力也更强。大脑研究人员得到的结论是：经常采用不同策略进行计算的人对数字之间的关系有了更深刻的认识和理解，所以在计算时能够达到融会贯通的效果 。

最有效的学习方式是能够启用大脑多条不同路径的学习方式 。人的左脑主要处理事实与技术信息，而右脑则主要处理视觉和空间信息。研究人员发现，在左右脑相互交流的情况下，数学学习会达到最佳效果 。

有一个数学游戏特别受大家欢迎，而且已经被传播到了全世界。

这个数学游戏由两个人一起玩。每个人都有一张纸，纸上有100个网格。第一个人先掷两个骰子，然后把掷骰子得到的两个数在纸上用网格的个数表示出来。可以使用纸上任何位置的网格，但目标是尽量把纸上的100个网格都用掉。在用网格表示掷骰子得到的两个数后，还要写出数学表达式来描述纸上100个网格的现状。当两个游戏者都不能将掷骰子得到的数用网格表示时，游戏结束。

另一个加强左右脑互动的游戏是点算牌。教师和家长们经常通过点算牌来训练孩子们的计算速度。这个游戏的规则就是在不限时的情况下，把表示方法不同但结果相同的数字找到。老师们需要把所有的点算牌都放在桌子上，有数字表示的一面朝下，然后让学生依次翻开，找到尽量多的结果数字相同的点算牌。例如，数字9和4可以通过图形面积表示出来，也可以通过多米诺骨牌上的点数表示出来，还可以通过一个表达式表示出来。当学生能把不同的卡片放在一起时，他们就理解了为什么这些不同的卡片是等价的。这个游戏的目的也是让学生们从不同的角度理解乘法，在加强左右脑联系的同时进一步学习数学常识。你也可以通过一直让牌面朝下的方式来训练记忆力，同时也增加了游戏的难度。

当你学习了一个新的数学概念时，经常回顾思考这个概念对学习很有益，最好的回顾思考方法就是在不同的情境中使用这个概念。让他们做很多简单习题来复习这个概念，那么我们对学生造成的伤害是极大的。让学生不停地做简单习题是没有必要的，而且这样会让学生对数学产生厌恶情绪，甚至放弃数学。

将数学看成一个完整的科目，深入思考数学概念以及概念之间的关系，培养逻辑推理和解决实际问题的能力。

当我们讲解一个定义时，我们应该为学生多提供几个例子，不只是完美的例子，也要有几乎不符合定义或者完全不符合定义的例子。

每晚会给学生留一道反思性的问题和1～5道练习题。数学作业——反思性问题

第一部分：请回答以下问题

注意：对问题的回答要尽量详细！请将你的答复以完整的句子呈现出来，并做好第二天在课堂上分享的准备。

1.我们今天学习的主要内容是什么，或者今天我们在课堂讨论了什么？

2.今天是否有问题还没有弄懂？如果没有，请出一道类似的题目并解出来。

3.请描述你或者你的同学今天所犯的一个错误或者对某个概念的错误理解。你从这个错误中学到了什么？

4.你或者你的小组是如何解决今天的问题的？你们的解决方案可行吗？你从这个解决方案中学到了什么？

5.请描述其他人或者其他小组解决今天问题的方案。他们的方案和你们的方案的相同与不同在哪里？

6.今天我们学习了哪些新单词或者术语？你认为这些新单词与术语的意义是什么？请给出一个例子。

7.今天课堂上发生的数学辩论是什么？你从这个辩论中学到了什么？

8.如果今天课堂上学习了两种东西，这两种东西的相似与不同之处在哪里？

9.如果你改变____，将会发生什么？

10.在这个小节的学习中，你的优势与弱势是什么？你提高弱势方面的计划是什么？

当你能够花更多的时间来反思你学了什么（并把反思写出来），而不是做更多的习题时，你学到的东西就会更多。

有一种很好的方法可以让学生以概念性的、联系性的观点来学习数字，这个方法被称之为“number talks”。

这个方法需要先给学生提出一个抽象问题，然后让学生给出解题思路并进行心算。教师可以先收集不同的解决方法，然后一起讨论某个方法的可行性。

例如：一位教师让学生们计算“15×12”，学生们则给出了如下5种解题方案：

1.15×10=150，15×2=30，150+30=180

2.30×12=360，360÷2=180

3.12×15=6×30，6×30=180

4.12×5=60，12×10=120，120+60=180

5.12×12=144，12×3=36，144+36=180

数学游戏与应用程序

拯救小怪兽（Wuzzit Trouble）详情请登录http：//wuzzittrouble.com/.）

Mathbreakers这款游戏的售价是25美元。从事教育行业的人可以优惠（详情请登录https：//www.mathbreakers.com/）。

数学运动（Motion Math）

Number Rack是一款数学应用程序，它的目标群体也是小学生，（详情请登录http：//www.k-5mathteachingresourses.com/Rekenrek.html）。

Number Rack由数学学习中心（the Math Learning Center）出品，可在网页上免费使用（详情请登录http：//www.mathlearningcenter.org/web-app/number-rack/）

第五章　这才是有价值的数学题

数学活动中的5C包含了好奇心（curiosity）、联想（connection making）、挑战（challenge）和创新（creativity），合作（collaboration）。

数学活动的本质以及数学带给我们的兴奋与快乐。

案例一：数字的灵活性与开放性

一个小型的“number talks”。心算18×5

案例三：讲解数学方法和知识的最佳时机

先给学生问题让他们探索思考，然后再介绍必要的数学方法。

最好的传授时间就是在学生充分了解问题之后。

案例四：第一次发现数学知识之间的联系（；帕斯卡三角形）

案例五：有趣的负空间

案例六：从数学常识到数学热情

“How close to 100?”游戏。

从案例到设计

调整数学题的过程中要询问的六个问题：

1.问题在调整之后，解题方法和说明解释是否多样化？

2.你是否把问题转化成了一个探究式的问题？

与其让学生找到长和宽分别是12和2的矩形的面积，不如先让他们思考有多少矩形的面积是24。

你能用4个4的运算表示1～20中的任何一个数吗？

3.在讲解方法之前，是否为学生提出问题让他们思考？

4.是否将问题可视化？

5.问题在调整后是否具有“由浅入深”的特点？

6.是否要求学生说服他人同意自己的解决方案？

推理是数学这个科目的核心。

说服过程有三个阶段 ：1.说服自己。2.说服你的朋友。3.说服一个怀疑你的人。

数学题进行调整的6个建议：

1.让调整后问题的解决方案与诠释方式多样化。

2.调整后的问题能为学生提供探究机会。

3.先思考问题，再传授解决问题所需的数学方法。

4.将问题与图形结合，询问学生从图形的角度如何看待这道数学题。

5.调整后的问题要具有由浅入深的特点。

6.让学生进行推理、提出质疑、解答疑问。

第五章人人都享有的数学权利

学生在作业上花费的时间越多，数学成绩就越低。

我的作业&我的思考：

你今天学习的主要内容是什么？

你对哪些内容有疑惑？

如何将今天所学的内容应用到你的生活中？

第七章　从分层教育到分组教育

培养成长式思维的分组形式——混合式分组

如何有效地为混合小组授课：

1.为学生提供开放式的数学题

由浅入深的数学题可以让学生从低到高、循序渐进的学习各水平的数学知识。而且由浅入深的数学题一般也是对学生最具吸引力、最有趣的题。这种数学题的价值不只是适用于成绩处于各种水平的学生，它们还蕴含了重要的数学知识，可以激励学生，还可以提高学生的创造性。

2在解数学题时，让学生有更多的选择

学生们可以从两个数学题中选择一个进行攻克，其中一道题目是调查面积是64的不同图形的形状，第二道题目是调查体积是216的不同物体的形状。

3.个性化学习

复合教学法

复合教学法包含四个准则：成功准则多元化，小组成员分工明确，教师要善于对弱势学生给予肯定与赞美，学生要学会对他人的学习负责。

当我们询问学生：“你认为怎样做才能在数学上获得成功？”令人震惊的是，97%的来自传统教学模式的学生给出了一个相同的答案：认真听讲。·

提出一个好的问题

·用自己的话复述问题

·解释原因

·使用逻辑推理

·解释方法可行性

·对问题进行转换

·将各种想法联系起来

·帮助他人。

1.请看下图，你的老师将会为你打印如下两个拼图。

完成这两个拼图，并把数字按顺序填入方格中以便打印。

2.把小拼图放在大拼图上。只要两个拼图中的方格能够对齐，你可以把小拼图放在大拼图上的任何地方。（你最好把小拼图做成一个透明的，这样容易与大拼图的方格对齐。）

3.两个拼图的方格对齐后，把大小两个拼图上对齐的数字加起来，然后看会出现什么现象。

4.请以小组为单位，探索你们提出的各种想法。当你观察这36对数字的和时，你可能会问：“如果我做……会发生什么情况呢？”然后做一个小的改变，比较改变前后的变化，你可能又会问：“为什么……？

学生对问题的参与程度取决于如下几个因素：

·数学教师的工作。教师应该将数学题介绍给学生，并在教室里边走动边问学生们问题。

·数学题本身。题目应具有开放性与挑战性，而且能够让所有学生贡献自己的想法。

·课堂多元化。所有与数学相关的工作都应该得到尊重与鼓励，比如提出一个问题、画一个示意图以及进行逻辑推理等。

·题目具有实用性。

·小组成员之间的相互沟通能力。小组成员之间可以通过相互提问问题来支持对方。

多元化的数学课堂鼓励学生们互帮互助

善于对弱势学生给予肯定与赞美。

实行成长式的教学模式要比实行传统教学模式困难得多。成长式的教学模式需要教师教授一个广阔的、开放的、多维度的数学，要教会学生对彼此的学习负责，而且还要把成长式思维模式的信息传递给学生。但这也是一位数学教师能够采取的最具成就感的教学模式：当看到对数学学习充满渴望并且成绩优秀的学生，老师们很容易便可获得成就感与力量。

第八章　成长式思维的评价机制

家庭作业得到文字性评价的学生，其学习速度是作业得到评分的学生的两倍。

学习评价机制的一个重要作用是：它可以教会学生为自己的学习负责。学习评价机制的核心是让学生成为可以自我管理的自发学习者，让他们自己决定最需要学习的内容，以及谁可以帮助他们提升学习水平。我们可以认为学习评价机制有三部分内容：第一，告诉学生他们已经学习了哪些内容；第二，告诉学生他们在学习进程中所处的位置以及他们要到达的位置；第三，为学生提供到达学习目标位置的信息。

最推崇的9种策略，让孩子知道自己应该学什么。

1.让学生进行自我评价

反思问题

今天我们学习的主要内容是什么？

我今天学会了什么？

我今天想到了哪些好点子？

今天所学的知识在哪些情况下可以使用？

我对今天所学的内容还有什么问题？

通过这堂课的学习，我又有了什么新想法？

6.让学生填写“退场票”

8.让学生画出来

9.让学生出题

如果一位教师能够将自己的知识、想法以及学生在学习方面的反馈以积极向上的方式传递给学生，那么这将是这位教师送给学生的最好礼物。

第九章　为成长式思维而教授数学

让所有的学生获得鼓励

数学课堂规范

1.每个人的数学学习都可以达到最高水平。

相信自己。只要努力，每个人的数学学习都可以达到最高水平。

2.错误是宝贵的。

犯错会让你的大脑成长。经历犯错与挣扎是你的财富。

3.提问问题非常重要。

多提问问题，多回答问题。经常问自己为什么。

4.数学关乎创新性与意义构建。

数学是一门具有创新性的学科。也就是说，它的核心内容是探索规律、将规律可视化以及建立解决方案，并且这些内容都是可供大家讨论与评论的。

5.数学关乎联系与沟通。

数学是一门具有联系性的学科，而且它还是一种沟通方式。我们可以用文字、图片、图形、方程等表示数学，而且还可以把它们联系在一起。可以采用涂色的方法将它们联系在一起哦！

6.深度比速度更重要。

顶级数学家洛朗·施瓦茨就思考地很慢、很深。

7.数学课只关乎学习过程，而非最终成绩。

如果你能做到如下要求，你的小组就会获得成功：

·能够识别并描述问题中的变化规律。

·能够对自己的想法进行证明并可以用多种形式进行表达。

·能够找到不同解决方式与不同表达方式之间的联系。

·能够用文字、箭头、数字和颜色等清晰地表达你们的想法。

·能够清晰地将你们的想法解释给其他小组成员和教师。

·能够通过提问问题理解其他小组的想法。

·能够通过提问问题让自己的小组进行更深入的思考。

·能够将你们小组的想法表示出来，并且让其他小组明白。

没有人能擅长上面所有的事情，但每个人都有自己擅长的方面。只有所有小组成员共同努力，你们才能在今天的任务中获得成功。

教师可以通过鼓励性的语言把积极向上的期望传递给学生。对于那些看起来学习动力充足、学习速度较快的学生，这些信息可以很容易地传递给他们。但更重要的是，教师要把积极向上的期望与信念传递给那些看起来反应有些慢、学习动力缺乏或者在学习上挣扎的学生。

正确对待挫折与失败

做对所有的习题并不是学生需要的。最高效的数学课堂是能够为学生提供解决复杂问题的机会，能够鼓励学生进行探索，即使学生遇到挫折与失败也能享受数学学习的过程。也就是说，如果学生想获得让大脑成长的机会，数学题的难度就应该提高。

停止赞扬那些在数学上反应很快的学生，赞扬坚持不懈与勤于思考的品质。当一个学生正在经历失败或者挫折，并不意味着这个学生没有数学潜力，而意味着他的大脑在成长，新的路径正在大脑中形成，而这些将让他们在未来变得更强大。

停止夸赞孩子聪明，而应该把评价的重点放在他们的行为上。

从多个角度称赞别人，比如对好的思考方式、努力工作的态度与持之以恒的精神等进行称赞。

当学生犯错时，我们应该对他们的思考与逻辑进行点评，而不是直接告诉他们“这样做是不对的。”

在学生提出问题时这样回答：“让我们一起思考一下。你是想让我的大脑成长呢，还是想让你们自己的大脑成长？”

我们帮助学生的最好方法就是不为他们提供帮助。

解放数学

把数学作为一门开放型、成长型与学习型的科目进行教授

最完美的数学题就是那些由浅入深的数学题。

鼓励学生像数学家一样思考

把数学作为一门关于规律与联系的科目进行教授

当教师教授一种数学方法时，他们其实在教授一种规律。

·鼓励学生在解决问题时采用不同的方法，然后让他们找到不同方法之间的联系，比如，讨论这些方法的相似与不同之处，或者为什么一个方法可以使用或者不能使用。

让学生在解决问题时找到不同数学概念之间的联系。

把24块狗饼干分成两组，你有多少种分法？

把24块狗饼干平均分成若干组，你有多少种分法？

教授可视化与创造性的数学

艺术与可视化的表现形式不只是起到了治疗性与启发创造性的作用，而且还在帮助学生理解数学内容方面起着关键作用。

洛朗·施瓦茨所说：“重要的是能够深入理解事物以及它们之间的相互关系。”数学的本质在于深度思考，而不是在于肤浅的事实性知识和快速的思考与工作。

鼓励学生提出问题、进行推理辩论、以及保持怀疑的态度

解释说明自己的解题方案是一种数学活动，这种数学活动的名称就叫作推理，推理是数学这个科目的核心技能。当学生为自己的数学观点和想法进行辩护与推理时，他们实际上在进行数学活动。