双曲线：2015年全国卷A题5

已知 $M(x_0,y_0)$ 是双曲线 $C:\dfrac{x^2}{2}-y^2=1$ 上的一点， $F_1,F_2$ 是 $C$ 的两个焦点，若 $\overrightarrow{MF_1}\cdot\overrightarrow{MF_2} \lt 0$ ，则 $y_0$ 的取值范围是

$(A)(-\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3}) \;\;\qquad (B)(-\dfrac{\sqrt{3}}{6},\dfrac{\sqrt{3}}{6})$

$(C)(-\dfrac{2\sqrt{2}}{3},\dfrac{2\sqrt{2}}{3}) \qquad (D)(-\dfrac{2\sqrt{3}}{3},\dfrac{2\sqrt{3}}{3})$

【解析】

由双曲线方程可以得出结论：

1）焦点在 $x$ 轴上；

2） $a^2=2,b^2=1,c^2=3$ ,

考虑以下临界情况： $\overrightarrow{MF_1}\cdot\overrightarrow{MF_2} = 0$ . 对应的点 $M$ 的轨迹是一个以 $F_1F_2$ 为直径的圆，这个圆的方程为：

$x^2+y^2=3$

联立圆与双曲线的的方程，可解得： $x^2=\dfrac{8}{3}, y^2=\dfrac{1}{3}$

结论：选项A正确。

【提炼与提高】

本题具有一定综合性。顺利解答本题需要具备以下能力：

1）数形结合。

2）由向量积为负想到向量积为0，再联想到圆的方程。

3）迅速地完成双曲线与圆的方程的联立求解。

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