双曲线：2014年全国卷A题4

已知 $F$ 为双曲线 $C:x^2-my^2=3m(m \gt 0)$ 的一个焦点，则点 $F$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为

$(A)\sqrt{3} \qquad (B)\sqrt{3}m \qquad (C)3 \qquad (D)3m$

【解析】

双曲线方程可整理为标准形： $\dfrac{x^2}{3m}-\dfrac{y^2}{3}=1$

$a^2=3m,b^2=3,c^2=3(m+1)$

记渐近线的倾角为 $\alpha$ , 斜率为 $k$ , 则 $k^2=\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{1}{m}$

$\dfrac{1}{\sin^2 \alpha}=\dfrac{1}{k^2} +1 = m+1$

$c^2 \cdot \sin^2 \alpha = 3$

所以，点 $F$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为 $\sqrt{3}$

选项A正确。

【提炼与提高】

本题解答过程涉及以下知识：

1）双曲线的标准方程、焦点坐标、渐近线的斜率。

2）直线倾角与斜率的关系。

3）三角公式： $\dfrac{1}{\tan^2\alpha}+1=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$

【易错点】

小心计算，避免低级错误。

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